Question

19．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的两个根记作a_n，b_n（n≥2），则$\frac{1}{{（{a_2}-2）（{b_2}-2）}}$$+\frac{1}{{（{a_3}-2）（{b_3}-2）}}$+…$\frac{1}{（{a}_{2012}-2）（{b}_{2012}-2）}$=-$\frac{2011}{8052}$．

Answer 1

分析 由根与系数的关系得a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，所以（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），则$\frac{1}{（{a}_{n}-2）（{b}_{n}-2）}$=-$\frac{1}{2n（n+1）}$=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），然后代入即可求解．

解答 解：由根与系数的关系得a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，
所以（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），
则$\frac{1}{（{a}_{n}-2）（{b}_{n}-2）}$=-$\frac{1}{2n（n+1）}$=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{（{a_2}-2）（{b_2}-2）}}$$+\frac{1}{{（{a_3}-2）（{b_3}-2）}}$+…$\frac{1}{（{a}_{2012}-2）（{b}_{2012}-2）}$=-$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}$）]=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2013}$）=-$\frac{1}{2}$×$\frac{2011}{4026}$=-$\frac{2011}{8052}$．
故答案为：-$\frac{2011}{8052}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．