Question

7．如图，两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）求证：MB∥CF；
（2）若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长．

Answer 1

分析 （1）如答图1所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；
（2）先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；

解答 解：（1）如图1，延长AB交CF于点D，
则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴点B为线段AD的中点，
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴BM∥CF；

（2）如图2，
∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE-CB=2a-a=a，
∵△ABM≌△FDM，
∴BM=DM，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BM=ME=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．

点评 本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．