Question

9．如图，直线y=-$\frac{3}{4}$x+6交x轴于点B，交y轴于点A，以AB为直径作圆，点C是$\widehat{AB}$的中点，连接OC交直径AB于点E，则OC的长为7$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如，作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，连接BC、AC，先证明△CMB≌△CNA得AN=BM，再证明四边形OMCN是正方形，求出其边长即可求出OC的长．

解答 解：如图，作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，连接BC、AC．
∵直线y=-$\frac{3}{4}$x+6交x轴于点B，交y轴于点A，
∴点A坐标（0，6），点B坐标（8，0），
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠AOC=∠BOC，
∴CM=CN，CA=CB，
在RT△CMB和RT△CNA中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CN}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△CMB≌△CNA，
∴BM=AN，
∵∠NOM=∠OMC=∠CNO=90°，
∴四边形OMCN是矩形，
∵CM=CN，
∴四边形OMCN是正方形，
∴OM=ON=CM=CN，
∴OB-BM=OA+AN，
∴8-BM=6+AN，
∴AN=BM=1，
∴OM=CN=7，
∴OA=$\sqrt{O{M}^{2}+C{M}^{2}}$=7$\sqrt{2}$．
故答案为7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、一次函数的有关知识、圆的有关知识、正方形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会转化的思想，求线段OC想办法把线段OC放在直角三角形中，属于中考常考题型．