Question

观察下面的点阵和相应的等式，探究其中的规律：

（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式：
①1=1²；②1+3=2²；③1+3+5=3²；④

 

；⑤

 

．
（2）请猜想：1+3+5+7+…+19=

 

．
（3）请猜想：1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）=

 

．
（4）请用上述规律计算：101+103+105+107+…+199．

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类

专题：

分析：（1）根据图形结合规律直接写出答案即可．
（2）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可；
（3）由（1）的结论可知是n 个连续奇数的和，得出结果；
（4）1+3+5+…+2003+2005是连续1003个奇数的和，再由（2）直接得出结果．

解答：解：由图片知：
第1个图案所代表的算式为：1=1²；
第2个图案所代表的算式为：1+3=4=2²；
第3个图案所代表的算式为：1+3+5=9=3²；
…
依此类推：第n个图案所代表的算式为：1+3+5+…+（2n-1）=n²；
（1）当n=3、4时分别为：1+3+5+7=4²、；1+3+5+7+9=5²

（2）故当2n-1=19，
即n=10时，1+3+5+…+19=10²．

（3）由（1）可知：1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）
=1+3+5+7+9+…+（2n-1）+[2（n+1）-1]
=（n+1）²．

（4）103+105+107+…+2003+2005
=（1+3+…+2003+2005）-（1+3+…+99+101）
=1003²-51²
=1006009-2601
=1003408．

点评：考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形和算式找到规律，难度不大．