Question

4．如图，已知一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+2的图象分别交x轴，y轴于B点、A点，抛物线y=ax²+$\frac{1}{2}$x+c的图象经过A、B两点，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若G为线段DE上一点，F为线段DG的中点，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与y轴相切时，求点D的坐标；
（3）设点D的横坐标为m，以A，B，D为顶点的三角形面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴上的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DF的长，根据线段中点的性质，可得DG的长根据圆与y轴相切，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，可得D点坐标；
（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）在y=-$\frac{1}{2}$x+2中，当x=0时，y=2；当y=0时，x=4．
所以A（0，2），B（4，0）．
把A（0，2），B（4，0）代入y=ax²+$\frac{1}{2}$x+c中，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{16a+2+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；
（2）设F点的坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x+2），
则D点的坐标为（x，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2），
∴DF=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）=-$\frac{1}{4}$x²+x
∵G点与D点关于F点对称，
∴GD=2FD=2（-$\frac{1}{4}$x²+x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x．
若以G为圆心，GD为半径作圆，使得⊙G与y轴相切，即
-$\frac{1}{2}$x²+2x=x，
解得：x=2，x=0（舍去）．
综上所述：D点的坐标为（2，2）；
（3）如图，，
连接DA，AB，DO，
∵点D的坐标为（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2）
∴S_△ABD=S_△AOD+S_△DOB-S_AOB
=$\frac{1}{2}$×2m+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2）-$\frac{1}{2}$×2×4
=-$\frac{1}{2}$m²+2m
=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2
当m=2时，S有最大值2．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用圆与y轴相切得出关于x的方程是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．