Question

如图，已知大半圆⊙O₁与小半圆⊙O₂相内切于点B，大半圆的弦MN切小半圆于点D，若MN∥AB，当MN=5时，则此图中的阴影部分的面积是

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,垂径定理

专题：计算题

分析：作O₁H⊥MN于H，连结O₂D，O₁N，如图，根据切线的性质得O₂D⊥MN，而MN∥AB，可判断四边形O₁O₂DH为矩形，则O₂D=O₁H，再根据垂径定理，由O₁H⊥MN得到MH=MH=

1

2

MN=

5

2

，在Rt△O₁NH中，利用勾股定理得到O₁N²-O₁H²=NH²=

25

4

，则O₁N²-O₂D²=

25

4

，然后根据圆的面积公式得到图中的阴影部分的面积=

1

2

（πO₁N²-πO₂D²），再利用整体代入的方法计算即可．

解答：解：作O₁H⊥MN于H，连结O₂D，O₁N，如图，
∵大半圆⊙O₁与小半圆⊙O₂相内切于点B，
∴点O₂在O₁B上，
∵大半圆的弦MN切小半圆于点D，
∴O₂D⊥MN，
而MN∥AB，
∴四边形O₁O₂DH为矩形，
∴O₂D=O₁H，
∵O₁H⊥MN，
∴MH=MH=

1

2

MN=

5

2

，
在Rt△O₁NH中，O₁N²-O₁H²=NH²=

25

4

∴O₁N²-O₂D²=

25

4

∵图中的阴影部分的面积=

1

2

（S_大半圆-S_小半圆）
=

1

2

（πO₁N²-πO₂D²）
=

1

2

π•（O₁N²-O₂D²）
=

1

2

π•

25

4

=

25

8

π．
故答案为

25

8

π．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了勾股定理、垂径定理．