Question

【题目】四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点.如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD＝PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点.

（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点.

（2）如图3，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF＝∠CBE，CE＝CF.求证：点P是四边形ABCD的准等距点.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据菱形的性质，在菱形对角线上找出除中心外的任意一点即可；

（2）连接BD，先利用“角角边”证明△DCF和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=CB，再根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠CBD，从而得到∠PDB=∠PBD，然后根据等角对等边的性质可得PD=PB，根据准等距点的定义即可得证．

(1)如图2,点P即为所画点. (答案不唯一)

(2)证明：连接DB，

在△DCF与△BCE中,

，

∴△DCF≌△BCE(AAS)，

∴CD=CB，

∴∠CDB=∠CBD.

∴∠PDB=∠PBD，

∴PD=PB，

∵PA≠PC

∴点P是四边形ABCD的准等距点.