Question

6．如图，抛物线y=ax²+bx-1（a≠0）的对称轴是直线x=2，最低点D的纵坐标为-3，A，B为抛物线上的两点，且直线AB∥x轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△ABD是等腰直角三角形；
（3）直线AB绕点A逆时针方向旋转45°，与x轴交于点C．
①求直线AC的解析式；
②若P是线段BD上的动点，Q是线段OC上的动点，试判断在点P和点Q的移动过程中，△PAQ的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的顶点坐标，设出顶点式展开和一般式比较求得a、b即可；
（2）利用二次函数的对称性得出AD=DB，利用勾股定理得出AD，DB，AB进一步判定三角形的形状即可；
（3）①得出△OAC是等腰直角三角形，求得点C坐标，利用待定系数法求函数解析式；
②利用对称性得出点A关于x轴与BD的对称点，利用勾股定理和对称的性质求得最小值即可．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，-3），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-3，
即y=ax²-4ax+4a-3，
∵抛物线y=ax²+bx-1，
∴b=-4a，4a-3=-1，
∴a=$\frac{1}{2}$，b=-2，
∴抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2x-1；
（2）由题意可知DA=DB，
∵点D坐标为（2，-3），
∴AB=4，AD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴DB=2$\sqrt{2}$，
∴△ABD是等腰直角三角形．
（3）①∵点A坐标为（0，-1），△OAC是等腰直角三角形，
∴OC=OA=1，
∴点C坐标为（1，0），
∴直线AC的解析式为y=x-1．
②存在最小值为2$\sqrt{13}$．
如图，

作点A关于x轴的对称点A′，作点A关于直线BD的对称点A″，
连接A′A″交BD于点P，交OC于点Q，连接AP，AQ，此时的△PAQ为符合题意的周长最小的三角形．
∵A、A′关于x轴对称，
∴点A′的坐标为（0，1），
∵A、A″关于x轴对称，△ABD是等腰直角三角形，
∴△A″DB是等腰直角三角形，
∴△A″AB是等腰直角三角形，
∴点A″的坐标为（4，-5），
过点A″作A″E⊥y轴于点E，
∴A′E=6，
在直角△A′A″E中，
A′A″=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴点P和点Q的移动过程中，△PAQ的周长存在最小值，最小值为2$\sqrt{13}$．

点评 此题考查二次函数综合题，掌握待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及利用对称性求最值是解决问题的关键．