Question

16．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30°
（1）求证：$\widehat{CF}$=$\widehat{BC}$．
（2）若CD=6，求GF的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠COF=∠COV=60°即可．
（2）首先证明GF=CF，再在RT△CFD中利用勾股定理即可解决．

解答 解：（1）如图，连接OC、CF．
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴BC弧=BD弧，∠OED=90°，
∴∠BOD=∠COB，
∵∠D=30°，
∴∠DOE=∠AOF=∠BOC=60°，
∴∠COF=60°，
∴∠COF=∠COB=60°，
∴$\widehat{CF}$=$\widehat{BC}$．
（2）∵OC=OF，∠COF=60°
∴△COF是等边三角形，
∴∠OFC=60°，
∵∠G=30°，∠OFC=∠G+∠FCG，
∴∠FCG=30°，
∴∠G=∠FCG，
∴GF=CF，
∵DF是直径，
∴∠FCD=90°，
∵∠D=30°，CD=6，DF=2CF，设CF=a，则DF=2a
∴a²+36=4a²，
∵a＞0，
∴a=2$\sqrt{3}$，
∴GF=CF=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆周角定理、勾股定理、垂径定理等知识，利用垂径定理是解决问题的关键，学会把问题转化为特殊三角形，即问题特殊化，属于中考常考题型．