Question

4．已知：坐标平面内，点F（0，2），点P为$（m，\frac{1}{4}{m^2}+1）$．
（1）点P一定在x轴上方（填：x轴上方或y轴右侧）
（2）记P到x轴距离为d₁，点P与点F的距离为d₂，证明：不论m取何值，总有d₁=d₂；
（3）若点Q为坐标轴上的点，直接写出使△PFQ为等边三角形的Q点坐标．

Answer 1

分析 （1）因为点P的纵坐标是非负数，由此可确定点P的位置．
（2）求出d₁与d₂即可判定．
（3）分两种情形讨论：：①当点Q在x轴上时，点Q坐标为（m，0）．由题意可知：$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}{m}^{2}$+1）=2，解方程即可．②当点Q在y轴上点P的下方时，由题意可知：$\frac{1}{4}$m²+1=2[2-（$\frac{1}{4}$m²+1]，解方程即可，当点Q在y轴上点P的上方时，由题意可知：$\frac{1}{4}$m²+1=2[（$\frac{1}{4}$m²+1）-2]，解方程即可．

解答 （1）解：∵点P的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²+1），
又∵$\frac{1}{4}$m²+1＞0，
∴点P在x轴的上方．
故答案为x轴的上方．
（2）证明：∵P的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²+1）；
∴d₁=$\frac{1}{4}$m²+1，
P到点F（0，2）的距离为d₂₌$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{m}^{4}+\frac{1}{2}{m}^{2}+1}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}{m}^{2}+1$
∴d₁=d₂．
（3）解：①当点Q在x轴上时，点Q坐标为（m，0）．
由题意可知：$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}{m}^{2}$+1）=2，解得m=$±2\sqrt{3}$，
∴点Q（2$\sqrt{3}$，0）或（-2$\sqrt{3}$，0）．
②当点Q在y轴上点P的下方时，由题意：$\frac{1}{4}$m²+1=2[2-（$\frac{1}{4}$m²+1]，解得m=$±\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此时点Q（0，$\frac{4}{3}$），
当点Q在y轴上点P的上方时，由题意：$\frac{1}{4}$m²+1=2[（$\frac{1}{4}$m²+1）-2]，解得m=$±2\sqrt{3}$，此时点Q（0，6），
综上所述点Q的坐标为（2$\sqrt{3}$，0）或（-2$\sqrt{3}$，0）或（0，$\frac{4}{3}$）和（0，6）．

点评 本题考查坐标与图形的性质、等边三角形的性质，两点间的距离公式等知识，学会分类讨论的方法，用方程的思想去思考问题，本题易漏解．