Question

【题目】如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠CGE=2∠DFB，其中正确的结论有（　　）个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根据平行线的性质及角平分线的可判定①；②由已知条件无法判定；③根据直角三角形的两锐角互余及同角（或等角）的余角相等即可判定③；④根据三角形外角的性质及四边形的内角和求得∠DFE=135°，即可得∠DFB=45°，由此即可判定④.

①∵EG∥BC，

∴∠CEG=∠ACB，

又∵CD是△ABC的角平分线，

∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，①正确；

②无法证明CA平分∠BCG，②错误；

③∵∠A=90°，

∴∠ADC+∠ACD=90°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴∠ADC+∠BCD=90°．

∵EG∥BC，且CG⊥EG，

∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，

∴∠ADC=∠GCD，③项正确；

④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，

∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，

∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，

∴∠DFB=45°=∠CGE，

即∠CGE=2∠DFB，④项正确．

故选C.