Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，延长CO交AB于点D，记∠A=，∠ABC=β．

（1）求∠ADC的度数(用含α、β的式子表示)；

（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F，CE，BF相交于点G，取中点H，连接GH．若α+β=120°，求证：①CG=CO；②GH∥CD．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析．

【解析】

（1）根据∠CDA=∠DCB+∠ABC，只要求出∠DCB即可解决问题．

（2）①延长CD交⊙O于T，连接BT，OH．根据CT是直径，可得∠AEC=∠BFC=∠CBT=90°，根据等量关系可得∠FCG=∠BCT，然后可得△CFG∽△CBT，根据α+β=120°可得∠ACB=60°，然后求出∠CBF=30°，根据相似的性质求出CG=CT =CO；

②根据垂弦定理得出OH⊥AB，已知CE⊥AB，可得CG∥OH，推出四边形CGHO是平行四边形即可解决问题．

（1）解：如图1中，连接OB，

∵∠BOC=2∠A=2，OC=OB，

∴∠OCB=（180°-2）=90°-，

∴∠ADC=∠OCB+∠ABC=．

（2）证明：如图2，延长CD交⊙O于T，连接BT，OH．

①∵CT是直径，

∴∠CBT=90°，

∵CE⊥AB，BF⊥AC，

∴∠AEC=∠BFC=∠CBT=90°，

∴∠A+∠ACE=90°，∠T+∠BCT=90°，

∵∠A=∠T，

∴∠FCG=∠BCT，

∵α+β=120°，

∴∠ACB=60°，

∴∠CBF=30°，

∴BC=2CF，

∵∠FCG=∠BCT，∠CFG=∠CBT=90°，

∴△CFG∽△CBT，

∴=2，

∴CG=CT=OC=OT=OH，

②∵ ，

∴OH⊥AB，

∵CE⊥AB，

∴CE∥OH，∵CG=OH，

∴四边形CGHO是平行四边形，

∴GH∥CD．