Question

如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H． 
（1）求证：△AED≌△DFB；
（2）求证：∠DEB=∠CBG；
（3）求证：S_{四边形BCDG}=

3

4

CG²．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据已知可知△ABD为等边三角形，再根据SAS即可证△AED≌△DFB；
（2）根据∠DEB外角性质，∠DEB=∠A+∠ADE，又∠CBG=∠DBC+∠DBF，容易得到∠A=∠DBC，∠ADE=∠DBF，即可证
（3）先求证点B、C、D、G四点共圆，根据圆周角性质，得出∠BGC=∠DGC=60°，容易求证△CBM≌△CDN，S_{四边形BCDG}=S_{四边形CMGN}=2S_△CMG，根据有一个角为60°的特殊直角三角形性质，求得两直角边，即可证

解答：证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB（SAS）；

（2）∵ABCD为菱形，△ABD为等边三角形
∴∠A=∠DBC=60°，
由（1）已证△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠DEB=∠A+∠ADE，∠CBG=∠DBC+∠DBF，
∴∠DEB=∠CBG；


（3）∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
则△CBM≌△CDN，（HL）
∴S_{四边形BCDG}=S_{四边形CMGN}．
S_{四边形CMGN}=2S_△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=

1

2

CG，CM=

3

2

CG，
∴S_{四边形CMGN}=2S_△CMG=2×

1

2

×GM×CM=2×

1

2

×

1

2

CG×

3

2

CG=

3

4

CG²；

点评：考查三角形全等的求证，巧妙地把四边形与圆的知识结合，难度有点大，综合性强