Question

【题目】如图1，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝8．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）求⊙O的半径OC；

（3）如图2，⊙O的弦AH经过半径OC的中点F，连结BH交弦CD于点M，连结FM，试求出FM的长和△AOF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3），

【解析】

（1）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，求得，推出△COE∽△FOE，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠DEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线；

（2）利用三角函数值，设OE=x，OC=3x，得到CE=3，根据勾股定理即可得到答案；

（3）连接BD，根据圆周角定理得到角相等，然后证明△AOF∽△BDM，由相似三角形的性质，得到FM为中位线，即可求出FM的长度，由相似三角形的性质，以及中线分三角形的面积为两半，即可求出面积.

解：（1） ∵DF＝2OD，

∴OF＝3OD＝3OC，

∴，

∵∠COE＝∠FOC，

∴△COE∽△FOE，

∴∠OCF＝∠DEC＝90°，

∴CF是⊙O的切线；

（2）∵∠COD＝∠BAC，

∴cos∠BAC＝cos∠COE＝，

∴设OE＝x，OC＝3x，

∵BC＝8，

∴CE＝4，

∵CE⊥AD，

∴OE2+CE2＝OC2，

∴x2+42＝9x2，

∴x＝（负值已舍去），

∴OC＝3x＝，

∴⊙O的半径OC为；

（3）如图，连结BD，

由圆周角定理，则∠OAF=∠DBM，，

∵BC⊥AD，

∴，

∴∠ADC=∠ADB，

∴，

∴△AOF∽△BDM；

∵点F是OC的中点，

∴AO：OF=BD：DM=2，

又∵BD=DC，

∴DM=CM，

∴FM为中位线，

∴FM=

∴S△AOF: S△BDM=(:)2 ；

∵；

∴S△AOF==；