Question

【题目】如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点C，两函数图象分别交于B、D两点．

（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；

（2）如图2，连接AD、CD、BC、AB，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

（3）如图3，连接BD，点M是y轴上的动点，在平面内是否存在一点N，使以B、D、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+5；（2）四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（3）存在，点N坐标为(，)或(，)或(3，2)或(﹣3，2)．

【解析】

(1)由轴对称和平移的性质可求解；
(2)分别求出点A，点B，点C，点D坐标，由两点距离公式可求AB，CD，AD，BC，AC，BD的长，由两组对边相等的四边形是平行四边形可证四边形ABCD是平行四边形；
(3)分两种情况讨论，利用矩形的性质，可求解．

(1)∵y=x2+2x+1=(x+1)2，且将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，

∴y=﹣(x+1﹣1)2+5=﹣x2+5；

(2)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：

∵y=﹣x2+5的顶点为点C，

∴点C的坐标为(0，5)．

∵函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A，

∴点A(﹣1，0)，

联立方程组可得：，

∴ 或 ，

∴点D的坐标为(﹣2，1)，点B的坐标为(1，4)．

∵点D(﹣2，1)，点B(1，4)，点A(﹣1，0)，点C(0，5)，

∴，

同理可求得：CD=，AD=，BC=，AC=，BD=3，

∴AB=CD，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形；

(3)存在，

设点N(x，y)

若BD为矩形的边，四边形BDMN是矩形时．

∵点D的坐标为(﹣2，1)，点B的坐标为(1，4)，

设直线BD解析式为：，

∴，

解得：，

∴直线BD解析式为：y=x+3，

∵DM⊥BD，

∴设直线DM的解析式为，

将点D的坐标为(﹣2，1)代入得：，

解得：，

∴直线DM的解析式为y=﹣x﹣1，

∴点M的坐标为(0，﹣1)．

∵BM与DN互相平分，

∴，，

∴x=3，y=2，

∴点N的坐标为(3，2)；

若BD为矩形的边，四边形BDNM是矩形时．

∵点D的坐标为(﹣2，1)，点B的坐标为(1，4)，直线BD解析式为：y=x+3，

∵BM⊥BD，

∴设直线BM的解析式为，

将点B的坐标为(1，4)代入得：，

解得：，

∴直线BM的解析式为y=﹣x+5，

∴点M的坐标为(0，5)．

∵BN与DM互相平分，

∴，，

∴x=﹣3，y=2，

∴点N的坐标为(﹣3，2)；

若BD为对角线．

∵点D、B、N的坐标分别为(﹣2，1)， (1，4)， (x，y)，

点M的横坐标为0，设点M的纵坐标为，

∵BD与MN互相平分，

∴，，

∴，，

点N的坐标为(，)，点M的坐标为(0，5﹣y)，

∵BD=MN，

∴

整理得：

解得：，

∴点N的坐标为(，)或(，)，

综上所述：点N坐标为(，)或(，)或(3，2)或(﹣3，2)．