【题目】已知抛物线过点.
(1)若点也在该抛物线上,请用含的关系式表示;
(2)若该抛物线上任意不同两点、都满足:当时,;当时,;若以原点为圆心,为半径的圆与抛物线的另两个交点为、(点在点左侧),且有一个内角为,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,若点与点关于点对称,且、、三点共线,求证:平分.
【答案】(1);(2);(3)见解析.
【解析】
(1)把点、代入抛物线解析式,然后整理函数式即可得到答案.
(2)根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为轴、开口向上,进而可得出,由抛物线的对称性可得出为等腰三角形,结合其有一个的内角可得出为等边三角形,设线段与轴交于点,根据等边三角形的性质可得出点的坐标,再利用待定系数法可求出值,此题得解;
(3)由(1)的结论可得出点的坐标为,、点的坐标为,,由、、三点共线可得出,进而可得出点及点的坐标,由点、的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点在直线上,进而即可证出平分.
解:(1)把点、分别代入,得
.
所以.
(2),如图1,
当时,,
,,
当时,随的增大而减小;
同理:当时,随的增大而增大,
抛物线的对称轴为轴,开口向上,
.
为半径的圆与拋物线的另两个交点为、,
为等腰三角形,
又有一个内角为,
为等边三角形.
设线段与轴交于点,则,且,
又,
,.
不妨设点在轴右侧,则点的坐标为,.
点在抛物线上,且,,
,
,
抛物线的解析式为.
(3)证明:由(1)可知,点的坐标为,,点的坐标为,.
如图2,直线的解析式为.
、、三点共线,
,,且,
,
,
,即,
点的坐标为,.
设点关于轴的对称点为点,则点的坐标为,.
点是点关于点的对称点,
,
点的坐标为.
设直线的解析式为,
点的坐标为,,
,
,
直线的解析式为.
,
点在直线上,
平分.
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【题目】对于二次函数,下列说法正确的个数是( )
①对于任何满足条件的,该二次函数的图象都经过点和两点;
②若该函数图象的对称轴为直线,则必有;
③当时,随的增大而增大;
④若,是函数图象上的两点,如果总成立,则.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】某校对交通法则的了解情况在全校随机调查了部分学生,调查结果分为四种:.非常了解,.比较了解,.基本了解,.不太了解,并将此次调查结果整理绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图.
(1)本次共调查_______名学生;扇形统计图中所对应扇形的圆心角度数是_______;
(2)补全条形统计图;
(3)学校准备从甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛,请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率.
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【题目】已知一次函数y=﹣x+m的图象与反比例函数的图象交于A、B两(点A在点B的左侧),点P为x轴上一动点,当有且只有一个点P,使得∠APB=90°,则m的值为_____.
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【题目】如图,为直径,,、为圆上两个动点,为中点,于,当、在圆上运动时保持,则的长( )
A.随、的运动位置而变化,且最大值为4
B.随、的运动位置而变化,且最小值为2
C.随、的运动位置长度保持不变,等于2
D.随、的运动位置而变化,没有最值
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=10,E、F分别在边BC,AD上,BE=DF.将△ABE,△CDF分别沿着AE,CF翻折后得到△AGE,△CHF.若AG、CH分别平分∠EAD、∠FCB,则GH长为( )
A.3B.4C.5D.7
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【题目】某校七年级10个班的300名学生即将参加学校举行的研究旅行活动,学校提出以下4个活动主题:A.赤水丹霞地貌考察;B.平塘天文知识考察;C.山关红色文化考察;D.海龙电土司文化考察,为了解学生喜欢的活动主题,学生会开展了一次调查研究,请将下面的过程补全
(1)收集数据:学生会计划调查学生喜欢的活动主题情况,下面抽样调查的对象选择合理的是______.(填序号)
①选择七年级3班、4班、5班学生作为调查对象
②选择学校旅游摄影社团的学生作为调查对象
③选择各班学号为6的倍数的学生作为调查对象
(2)整理、描述数据:通过调査后,学生会同学绘制了如下两幅不完整的统计图,请把统计图补充完整
某校七年级学生喜欢的活动主题条形统计图某校七年级学生喜欢的活动主题扇形统计图
(3)分析数据、推断结论:请你根据上述调查结果向学校推荐本次活动的主题,你的推荐是______(填A-D的字母代号),估算全年级大约有多少名学生喜欢这个主题活动
(4)若在5名学生会干部(3男2女)中,随机选取2名同学担任活动的组长和副组长,求抽出的两名同学恰好是1男1女的概率.
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【题目】如图,反比例函数经过点;
(1)求反比例函数的解析式;
(2)点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上,直线经过点,直线交反比例函数图象于另一点,若,求点的坐标.
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【题目】如图1,△ABC内接于⊙O,直径AD交BC于点E,延长AD至点F,使DF=2OD,连接FC并延长交过点A的切线于点G,且满足AG∥BC,连接OC,若cos∠BAC=,BC=8.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)求⊙O的半径OC;
(3)如图2,⊙O的弦AH经过半径OC的中点F,连结BH交弦CD于点M,连结FM,试求出FM的长和△AOF的面积.
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