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【题目】已知抛物线过点

1)若点也在该抛物线上,请用含的关系式表示

2)若该抛物线上任意不同两点都满足:当时,;当时,;若以原点为圆心,为半径的圆与抛物线的另两个交点为(点在点左侧),且有一个内角为,求抛物线的解析式;

3)在(2)的条件下,若点与点关于点对称,且三点共线,求证:平分

【答案】1;(2;(3)见解析.

【解析】

1)把点代入抛物线解析式,然后整理函数式即可得到答案.

2)根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为轴、开口向上,进而可得出,由抛物线的对称性可得出为等腰三角形,结合其有一个的内角可得出为等边三角形,设线段轴交于点,根据等边三角形的性质可得出点的坐标,再利用待定系数法可求出值,此题得解;

3)由(1)的结论可得出点的坐标为、点的坐标为,由三点共线可得出,进而可得出点及点的坐标,由点的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点在直线上,进而即可证出平分

解:(1)把点分别代入,得

所以

2),如图1

时,

时,的增大而减小;

同理:当时,的增大而增大,

抛物线的对称轴为轴,开口向上,

为半径的圆与拋物线的另两个交点为

为等腰三角形,

有一个内角为

为等边三角形.

设线段轴交于点,则,且

不妨设点轴右侧,则点的坐标为

在抛物线上,且

抛物线的解析式为

3)证明:由(1)可知,点的坐标为,点的坐标为

如图2,直线的解析式为

三点共线,

,且

,即

的坐标为

设点关于轴的对称点为点,则点的坐标为

是点关于点的对称点,

的坐标为

设直线的解析式为

的坐标为

直线的解析式为

在直线上,

平分

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