Question

17．如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中点，那么$\frac{AB}{AD}$的值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 先利用旋转的性质得∠1=∠2，BE=$\frac{1}{2}$BD，AB=AE，再证明∠1=∠3，则可判断△BAE∽△BDA，利用相似比可得$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，然后证明AD=BD即可得到$\frac{AB}{AD}$的值．

解答 解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，点E恰好是对角线BD的中点，
∴∠1=∠2，BE=$\frac{1}{2}$BD，AB=AE，
∵EF∥AG，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB：BD=BE：AB，∠AEB=∠DAB，
∴AB²=$\frac{1}{2}$BD²，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABD，
∴∠ABD=∠DAB，
∴DB=DA，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明△BAE∽△BDA，