Question

△ABC中，已知BC=6，点D是BC边上的中点，AD=5，点P为线段AD上一点（与A、D不重合），过P作EF∥BC分别交AB，AC于点E、F，过E、F分别作EG∥AD，FH∥AD交BC边于点G．
（1）求证：P是线段EF的中点；
（2）当四边形EGHF为菱形时，求EF的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,菱形的性质

专题：

分析：（1）根据平行线的性质可以判定EP=FP；
（2）四边形EGHF为菱形，则EF=FH，根据平行线的性质可以求得CH的长，即可求得GH的长．

解答：解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEP∽△ABD，△AFP∽△ACD
∴

EP

BD

=

AP

AD

=

FP

CD

，
∵BD=CD，
∴EP=FP，∴P是线段EF的中点；
（2）∵四边形EGHF为菱形，∴EF=FH=GH=EG，
∵EG∥AD，FH∥AD，
∴

CH

CD

=

FH

AD

，

CH

3

=

FH

5

，
∴FH=

5

3

CH，DH=

1

2

FH=

5

6

CH，
∴CD=

5

6

CH+CH=3，
CH=

18

11

，EF=

5

3

CH=

30

11

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．