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【题目】如图,抛物线yax2+bx+cx轴交于点Ax10)、Bx20),与y轴交于点C0,﹣x2),且x10x2,△ABC的面积为6.

1)求抛物线的解析式;

2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点M,使四边形ABMC的面积最大?若存在,请求出点M的坐标和四边形ABMC的面积最大值;若不存在,请说明理由;

3E为抛物线的对称轴上一点,抛物线上是否存在一点D,使以BCDE为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x2-2x-3(2)(3)D1 45),D2 -25),D3 2-3

【解析】

1)根据题意求出ABC点的坐标,并将其代入y=ax2+bx+c即可求出解析式;

2)当点Mx轴下方的抛物线上时,连接OMCMBM,设点Maa2-2a-3),则S四边形ABMC=SAOC+SOCM+SOBM,用含a的代数式表示出S的值,利用函数的思想即可求出其最大值,进一步写出点M的坐标;

3)分类讨论存在平行四边形的情况,分别画出图形,利用平行四边形的性质及平移规律即可求出点D坐标.

1)由题意得,

SABC6

x12=1

x10x2

x1=﹣1x23

A(﹣10),B30),C0,﹣3),

抛物线为yax2+bx+c的图像经过A(﹣10),B30),C0,﹣3

解得:

∴抛物线的解析式为:

2)如图1,当点Mx轴下方的抛物线上时,连接OMCMBM

设点Maa2-2a-3),

S四边形ABMC=SAOC+SOCM+SOBM

=×1×3+×3a+×3-a2+2a+3

=-a-2+

由二次函数的性质可知,当a=时,S有最大值,S最大=

M-),四边形ABMC的面积最大值为

3)∵y=x2-2x-3=x-12-4

∴对称轴为直线x=1

如图2-1,当四边形ECBD为平行四边形时,DEBCDE=BC

xD-xE=xB-xC=3

xE=1

xD=4

D45);

如图2-2,当四边形DCBE为平行四边形时,DEBCDE=BC

xE-xD=xB-xC=3

xE=1

xD=-2

D-25);

如图2-3,当四边形ECDB为平行四边形时,BEDCBE=DC

xE+xD=xB+xC=3

xE=1

xD=2

D2-3);

综上所述点D坐标为45),(-25)或2-3).

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2)若直线AB母线解析式为:,求AB姊线CD的解析式;

3)如图2,在(2)的条件下,点P为第二象限母线上的动点,连接OP,交姊线CD于点Q,设点P的横坐标为mPQOQ的比值为y,求ym的函数关系式,并求y的最大值;

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