【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),与y轴交于点C(0,﹣x2),且x1<0<x2, ,△ABC的面积为6.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点M,使四边形ABMC的面积最大?若存在,请求出点M的坐标和四边形ABMC的面积最大值;若不存在,请说明理由;
(3)E为抛物线的对称轴上一点,抛物线上是否存在一点D,使以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2-2x-3(2)(3)D1 (4,5),D2 (-2,5),D3 (2,-3)
【解析】
(1)根据题意求出A,B,C点的坐标,并将其代入y=ax2+bx+c即可求出解析式;
(2)当点M在x轴下方的抛物线上时,连接OM,CM,BM,设点M(a,a2-2a-3),则S四边形ABMC=S△AOC+S△OCM+S△OBM,用含a的代数式表示出S的值,利用函数的思想即可求出其最大值,进一步写出点M的坐标;
(3)分类讨论存在平行四边形的情况,分别画出图形,利用平行四边形的性质及平移规律即可求出点D坐标.
(1)由题意得,
∵S△ABC=6,
∴
∴x12=1
∵x1<0<x2,
∴x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3),
抛物线为y=ax2+bx+c的图像经过A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3)
∴
解得:
∴抛物线的解析式为:
(2)如图1,当点M在x轴下方的抛物线上时,连接OM,CM,BM,
设点M(a,a2-2a-3),
则S四边形ABMC=S△AOC+S△OCM+S△OBM
=×1×3+×3a+×3(-a2+2a+3)
=-(a-)2+,
由二次函数的性质可知,当a=时,S有最大值,S最大=,
∴M(,-),四边形ABMC的面积最大值为;
(3)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴对称轴为直线x=1,
如图2-1,当四边形ECBD为平行四边形时,DE∥BC,DE=BC,
∴xD-xE=xB-xC=3,
∵xE=1,
∴xD=4,
∴D(4,5);
如图2-2,当四边形DCBE为平行四边形时,DE∥BC,DE=BC,
∴xE-xD=xB-xC=3,
∵xE=1,
∴xD=-2,
∴D(-2,5);
如图2-3,当四边形ECDB为平行四边形时,BE∥DC,BE=DC,
∴xE+xD=xB+xC=3,
∵xE=1,
∴xD=2,
∴D(2,-3);
综上所述点D坐标为(4,5),(-2,5)或(2,-3).
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【题目】如图,已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是(4,2),反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形的对称中心E,且与边BC交于点 D.
(1)求反比例函数的解析式和点D的坐标;
(2)若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3:5的两部分,求此直线的解析式.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线AB:y=kx+b(k<0,b>0),与x轴交于点A、与y轴交于点B,直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D.若直线CD的解析式为y=﹣(x+b),则称直线CD为直线AB的”姊线”,经过点A、B、C的抛物线称为直线AB的“母线”.
(1)若直线AB的解析式为:y=﹣3x+6,求AB的”姊线”CD的解析式为: (直接填空);
(2)若直线AB的”母线”解析式为:,求AB的”姊线”CD的解析式;
(3)如图2,在(2)的条件下,点P为第二象限”母线”上的动点,连接OP,交”姊线”CD于点Q,设点P的横坐标为m,PQ与OQ的比值为y,求y与m的函数关系式,并求y的最大值;
(4)如图3,若AB的解析式为:y=mx+3(m<0),AB的“姊线”为CD,点G为AB的中点,点H为CD的中点,连接OH,若GH=,请直接写出AB的”母线”的函数解析式.
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【题目】如图,在中,,以为直径的⊙分别交于点,交的延长线于点,过点作,垂足为点,连接,交于点.
(1)求证:是⊙的切线;
(2)若⊙的半径为4,①当时,求的长(结果保留π);②当时,求线段的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…都是等腰直角三角形,其直角顶点P1(3,3),P2,P3,…均在直线上.设△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…的面积分别为S1,S2,S3,…,依据图形所反映的规律,Sn=_____.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,BE⊥CD,BF⊥AD,垂足分别为E、F,CE=2,DF=1,∠EBF=60°,则这个平行四边形ABCD的面积是( )
A. 2B. 2
C. 3D. 12
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【题目】如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=1:3(沿斜坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的仰角为30°,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米?
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【题目】从沈阳到大连的火车原来的平均速度是180千米/时,经过两次提速后平均速度为217.8干米/时,这两次提速的百分率相同.
(1)求该火车每次提速的百分率;
(2)填空:若沈阳到大连的铁路长396千米,则第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了 小时.
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【题目】某校每学期都要对优秀的学生进行表扬,而每班采取民主投票的方式进行选举,然后把名单报到学校.若每个班级平均分到3位三好生、4位模范生、5位成绩提高奖的名额,且各项均不能兼得、现在学校有30个班级,平均每班50人.
(1)作为一名学生,你恰好能得到荣誉的机会有多大?
(2)作为一名学生,你恰好能当选三好生、模范生的机会有多大?
(3)在全校学生数、班级人数、三好生数、模范生数、成绩提高奖人数中,哪些是解决上面两个问题所需要的?
(4)你可以用哪些方法来模拟实验?
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