Question

如下图，点A是抛物线C₁：的顶点，点B是抛物线C₂：的顶点，并且OB⊥OA。

（1）求点A的坐标；

（2）若OB＝，求抛物线C₂的函数解析式；

（3）在（2）条件下，设P为轴上的一个动点，探究：在抛物线C₁或C₂上是否存在点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）A（－2，－1）                                                   （2分）

（2）以下为解题思路表述：

如图，作AD轴于点D，BC轴于点C，

由（1）得AD＝1，OD＝2，OA＝，

又由条件可推得△AOD∽△OBC，                      （证明相似，5分）

∴，即

∴BC＝4，同理可得OC＝2，                             （7分）

∴B（2，－4），                                                 （8分）

∴抛物线C₂：

即                                          （10分）

（3）设Q（），

如题图和备用图，在平行四边形中，

由于对角线平分平行四边形，

∴，可得或，

∴或－2或6，

∴Q₁（，4），Q₂（，4），Q₃（－2，4），Q₄（6，4），

共四种情况                                                         （14分）