【题目】如图，AB是半圈O的直径，率径OC⊥AB，OB=4，D是OB的中点，点E是BC上一动点，连结AE，DE．
（1）当点E是BC的中点时，求△ADE的面积
（2）若tan∠AED=
，求AE的长，
（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m.
①当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值．
②延长DF交半圆弧于点G，若AG=EG，AG∥DE，直接写出DE的长.
【答案】（1）6
（2）
（3）①
-1或2
或2；②DE=
【解析】
（1）因为点E是弧BC的中点，连接OE，BE，利用45°构造直角三角形，利用相似三角形的性质建立方程即可．
（2）条件中有三角函数，所以作DF⊥AE构造直角三角形，接着出现平行相似，利用AD与AB之比，表示AF，用△AFD建立勾股关系方程．
（3）①分别以D、E、F为直角端点分类讨论，用全等和相似三角形结论建立方程求解．
②需要导角证明△BDE为等腰三角形，用勾股定理求出AG，用△AOG～△DEB求出DE
（1）如图，作EH⊥AB，连接OE，EB
设DH=a，则HB=2-a，OH=2+a
∵点E是弧BC中点
∴∠COE=∠EOH=45°
∴EH=OH=2+a
在Rt△AEB中，EH2=AHBH
（2+a）2=（6+a）（2-a）
解得a=±22
∴a=22
S△ADE=6
（2）如图，作DF⊥AE，垂足为F，连接BE
设EF=2x，DF=3x
∵DF∥BE
∴
∴
∴AF=6x
在Rt△AFD中，AF2+DF2=AD2
（6x）2+（3x）2=（6）2
解得x=
AE=8x=；
（3）①当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图
设DH=a
可证△ODF≌△EDH
∴OD=EH=2
在Rt△ABE中，EH2=AH2BH2
（2）2=（6+a）2（2-a）2
解得a=±2
2
m=2
当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图
可证△EFG≌△EDH
设DH=a，则GE=a，EH=CG=2+a
在Rt△ABE中，EH2=AH2BH2
（2+a）2=（6+a）2+（2-a）2
解得a=±22
∴m=2
当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图
可证△EFM≌△ODF
设OF=a，则ME=a，MF=OD=2
∴EH=a+2
在Rt△ABE中，EH2=AHBH
（a+2）2=（4+a）（4-a）
解得a=±1
m=1
②可证△BDE为等腰三角形
BD=BE=2
∵△AOF∽△ABE
∴OF=1
在Rt△OFA中，由勾股定理可得AF=
GF=3
勾股定理可得AG=2
∵△AOG∽△DEB
∴
∴DE=
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【题目】如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是
，则矩形ABCD的面积是（ ）
A. 
B. 5C. 6D. 
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【题目】某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
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【题目】小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．
(1)求该超市销售这种水果，每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系式；
(2)一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w(元)最大是多少？
(3)为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润(a≤2.5)给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x(元/千克)的增大而增大，求a的取值范围．
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【题目】已知：如图，在ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，BF平分∠CBD，交CD于F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）当AD与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
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【题目】如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．
（1）求证：∠AEB=2∠C；
（2）若AB=6，
，求DE的长．
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【题目】如图，在ABCD中，CF⊥AB于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，且CF＝DE．
（1）求证：△BFC≌△CED；
（2）若∠B＝60°，AF＝5，求BC的长．
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【题目】 如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走9m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度．（结果保留根号）
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【题目】如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与点A，B重合）．若点B关于直线MN的对称点B'恰好落在等边△ABC的边上，则BN的长为_____cm．
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