[题目]如图.AB是半圈O的直径.率径OC⊥AB.OB=4.D是OB的中点.点E是BC上一动点.连结AE.DE． (1)当点E是BC的中点时.求△ADE的面积 (2)若tan∠AED=.求AE的长. (3)点F是半径OC上一动点.设点E到直线OC的距离为m. ①当△DEF是等腰直角三角形时.求m的值．②延长DF交半圆弧于点G.若AG=EG.AG∥DE.直接写出DE的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，AB是半圈O的直径，率径OC⊥AB，OB=4，D是OB的中点，点E是BC上一动点，连结AE，DE．

（1）当点E是BC的中点时，求△ADE的面积

（2）若tan∠AED=，求AE的长，

（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m.

①当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值．

②延长DF交半圆弧于点G，若AG=EG，AG∥DE，直接写出DE的长.

【答案】（1）6（2）（3）①-1或2或2；②DE=

【解析】

（1）因为点E是弧BC的中点，连接OE，BE，利用45°构造直角三角形，利用相似三角形的性质建立方程即可．

（2）条件中有三角函数，所以作DF⊥AE构造直角三角形，接着出现平行相似，利用AD与AB之比，表示AF，用△AFD建立勾股关系方程．

（3）①分别以D、E、F为直角端点分类讨论，用全等和相似三角形结论建立方程求解．

②需要导角证明△BDE为等腰三角形，用勾股定理求出AG，用△AOG～△DEB求出DE

（1）如图，作EH⊥AB，连接OE，EB

设DH=a，则HB=2-a，OH=2+a

∵点E是弧BC中点

∴∠COE=∠EOH=45°

∴EH=OH=2+a

在Rt△AEB中，EH2=AHBH

（2+a）2=（6+a）（2-a）

解得a=±22

∴a=22

S△ADE=6

（2）如图，作DF⊥AE，垂足为F，连接BE

设EF=2x，DF=3x

∵DF∥BE

∴

∴AF=6x

在Rt△AFD中，AF2+DF2=AD2

（6x）2+（3x）2=（6）2

解得x=

AE=8x=；

（3）①当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图

设DH=a

可证△ODF≌△EDH

∴OD=EH=2

在Rt△ABE中，EH2=AH2BH2

（2）2=（6+a）2（2-a）2

解得a=±22

m=2

当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图

可证△EFG≌△EDH

设DH=a，则GE=a，EH=CG=2+a

在Rt△ABE中，EH2=AH2BH2

（2+a）2=（6+a）2+（2-a）2

解得a=±22

∴m=2

当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图

可证△EFM≌△ODF

设OF=a，则ME=a，MF=OD=2

∴EH=a+2

在Rt△ABE中，EH2=AHBH

（a+2）2=（4+a）（4-a）

解得a=±1

m=1

②可证△BDE为等腰三角形

BD=BE=2

∵△AOF∽△ABE

∴OF=1

在Rt△OFA中，由勾股定理可得AF=

GF=3

勾股定理可得AG=2

∵△AOG∽△DEB

∴

∴DE=

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