Question

【题目】如图，顶点为（1，4）的抛物线与直线交于点A(2,2),直线与轴交于点B与轴交于点C

(1)求的值及抛物线的解析式

(2)P为抛物线上的点，点P关于直线AB的对称轴点在轴上，求点P的坐标

(3)点D为轴上方抛物线上的一点，点E为轴上一点，以A 、B、E、D为顶点的四边为平行四边形时，直接写出点E的坐标。

Answer 1

【答案】（1）1； ；（2）点的坐标（1，4）或；（3）或或或

【解析】试题分析：(1)、将A点坐标代入一次函数解析式得出n的值，首先设二次函数的解析式为顶点式，然后将点A坐标代入得出函数解析式；(2)、如图1.设与AC的交点为H，作HM⊥x轴于M，作与N，设出点P和点H的坐标，根据H是的中点得出m与x的关系式，根据相似得出x与m的关系，从而求出x的值，得出点P的坐标；(3)、设点坐标为A，以AB为边或对角线以及平行四边形的性质分别进行讨论，分别得出点的坐标.

试题解析：（1）A（2，2）代入得

设抛物线的解析式代入点）A（2，2），可得

所以抛物线的解析式

（2）如图1.设与AC的交点为H，作HM⊥x轴于M，作与N

设G

一方面，由于H是的中点，因此

于是得到所以整理，得 ①

另一方面，由得

所以与整理，得 ②

联立① ②解得或，所以点的坐标（1，4）如图2）或（如图3）

图1 图2 图3

(3)设点坐标为A，以AB为边或对角线进行分类讨论：

①如图4，当AB是平行四边行的边时，AB//DE,AB=DE

由于点B(0,1)先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到A(2,2),所以点D的坐标可以表示为

将代入，得

解得，此时如图5或，（如图6）

图4 图5 图6

②如图7，当AB是平行四边形的对角线时，设AB的中点，点E

关于的对称轴的坐标可以表示为

将代入，得

解得，此时如图5）或，