Question

【题目】问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=CB=DB，DB⊥AC．

①直接写出∠ADC的大小；

②求证：AB2+BC2=AC2．

迁移应用：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=BC=CD=DA=2，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE、CF．

①求证：△CEF是等边三角形；

②若∠BAF=45°，求BF的长．

Answer 1

【答案】问题背景①∠ADC=135°；②证明见解析；迁移应用：①证明见解析；②BF=．

【解析】

问题背景①利用等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．

②利用面积法解决问题即可．

迁移应用①如图2中，连BD，BE，DE．证明EF＝FC，∠CEF＝60即可解决问题．

②过B作BH⊥AE于H，设BH＝AH＝EH＝x，利用面积法求解即可．

问题背景①∵BC=BD=BA，BD⊥AC，

∴∠CBD=∠ABD∠ABC=45°，

∴∠BCD=∠BDC(180°﹣45°)=67.5°，∠BDA=∠BAD=67.5°，

∴∠ADC=∠BDC+∠BDA=135°．

②如图1中，

设AB=BC=a，

∴S△ABC

∵BE⊥AC，∠BCA=∠BAC=45°，

∴BE=AE=CE

∵S△ABC，

∴a2AC2

2a2=AC2，

∴AB2+BC2=AC2

迁移应用：①证明：如图2中，连BD，BE，DE．

∵AD=AB=BC=CD=2，

∴△ABD≌△BCD(SSS)，

∴∠BAD=∠BCD

∵∠BAD=60°，

∴△ABD和△CBD为等边三角形

∵C沿BM对称得E点，

∴BM垂直平分CE，

∴设∠CBF=∠EBF=α，EF=CF，

∴∠BEC=90°﹣α，

∴∠ABE=120°﹣2α，

∴∠BAE=∠BEA=30°+α，

∴∠AEC=120°，

∴∠CEF=60°，

∴△CEF为等边三角形

②解：易知∠BFH=30°

当∠BAF=45°时，

△ABE为等腰直角三角形

过B作BH⊥AE于H，

∴设BH=AH=EH=x，

∴S△ABE2xx=x2

S△ABE2x=2，

∴x2=2，即x

∵BF=2BH，

∴BF=2．