Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，过点O的抛物线y＝ax2﹣7ax与x轴正半轴交于点A，点D为第三象限抛物线上一点，AD交y轴于点B，OA＝2OB，点D纵坐标为﹣4．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PD交y轴于点C，连接CE，求证：CE∥AD；

（3）如图3，在（2）的条件下，将线段EC绕点E顺时针旋转90°，使点C恰好落在抛物线的点F处，连接OP，点Q为线段OP上一点，若∠FQC＝135°，求点Q坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据题意求得点A、B的坐标，再由相似的到D点的坐标即可得到解析式；

（2）过点D作轴交PE延长线于M，设点P横坐标为m，通过三角函数可知，进而根据平行线的判定定理即可得到；

（3）通过构造正方形CEFG，过点F作于T，根据正方形的性质可证，进而再由圆的内接四边形的特征及三角形全等的性质及判定即可求出Q点坐标.

解：（1）过点D作轴与H

令，则

即点A、B的坐标分别为

∵，∴，解得：

∴点，代入解析式得：

解得：

∴函数的表达式为解析式为：；

（2）过点D作轴交PE延长线于M，设点P横坐标为m

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴；

（3）构造正方形CEFG，过点F作于T

∵点

∴，

∴

∴，

∴

∴

∴

∴点F坐标为代入二次函数解析式并解得：

∴点

过F作于S

∵

∴为等腰直角三角形

∵四边形FGCS对角互补

∴ F，G，C，S四点共圆

连接GS，过点G作交SF延长线于L

∵F，G，C，S四点共圆

∴

∵

∴

又∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∵点

∴OP解析式为

设点

∵，

∴

解得或（舍）

∴点Q坐标为．