Question

正方形ABCD边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：△ABM∽△MCN；
（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长；
（3）设BM=x，当M点运动到什么位置时△ABM∽△AMN，求x的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）要证三角形ABM∽MCN，就需找出两组对应相等的角，已知两个三角形中一组对应角为直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似．
（2）已知这两个三角形中相等的对应角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么

AM

MN

=

AB

BM

；再由（1）Rt△ABM∽Rt△MCN．得出

AM

MN

=

AB

MC

，因此BM=MC，M是BC的中点．即x=2．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠MAB，∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠MAB，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN．
（2）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN，则有

AM

MN

=

AB

BM

，
由（1）知

AM

MN

=

AB

MC

，
∴

AB

BM

=

AB

MC

，
∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时，x=2．

点评：本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据相似三角形得出与所求的条件相关的线段成比例是解题的关键．