Question

已知关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0．
（1）试说明：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的等腰三角形面积．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）先计算判别式、整理得到△=（m-2）²+4，再根据非负数的性质△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先把x=1代入原方程求出m=2，则方程变形为x²-4x+3=0，利用因式分解法得到x₁=1，x₂=3，再根据三角形三边关系定理得出等腰三角形的腰长为3，底边为1，然后根据等腰三角形的性质及勾股定理求出底边上的高，再利用三角形面积公式即可求解．

解答：（1）证明：△=（m+2）²-4（2m-1）
=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴△＞0，
∴方程恒有两个不相等的实数根；

（2）解：把x=1代入方程得1-（m+2）+2m-1=0，解得m=2，
∴原方程变形为x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，即方程另一根为3，
如果1为腰，∵1+1＜2，∴不满足三角形三边关系定理，
如果3为腰，∵1+3＞3，∴满足三角形三边关系定理，
此时底边上的高为

32-0．52

=

35

2

，
∴以此两根为边长的等腰三角形面积=

1

2

×1×

35

2

=

35

4

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解和等腰三角形的性质．