Question

【题目】求解体验：

（1）已知抛物线 y＝﹣x2+bx﹣3 经过点（﹣1，0），则 b＝ ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是 ．

抽象感悟：

我们定义：对于抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0），以 y 轴上的点 M（0，m）为中心，作该抛物线关于点 M 对称的 抛物线 y′，则我们又称抛物线 y′为抛物线 y 的“衍生抛物线”，点 M 为“衍生中心”．

（2）已知抛物线 y＝﹣x2﹣2x+5 关于点（0，m）的衍生抛物线为 y′，若这两条抛物线有交点，求 m 的取值范 围．

问题解决：

（3）已知抛物线 y＝ax2+2ax﹣b（a≠0）

①若抛物线 y 的衍生抛物线为 y′＝bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 a、b 的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线 y 关于点（0，k+12）的衍生抛物线为 y1，其顶点为 A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为 y2，其顶点为 A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为 yn，其顶点为 An…（n 为正整数）．求 An An+1 的长（用含 n 的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）b=-4，（－2，1），；（2）m≤5；（3）4n+2

【解析】

求解体验：（1）利用待定系数法求出b的值，进而求出顶点坐标，在抛物线上取一点（0，-3），求出点（-2，1）和（0，-3）关于（0，1）的对称点坐标，利用待定系数法即可得出结论；
抽象感悟：（2）求出抛物线的顶点坐标（-1，6），进而利用待定系数法求出衍生函数解析式，联立即可得出结论；
问题解决：（3）①求出抛物线的顶点坐标和衍生抛物线的顶点坐标，分别代入抛物线解析式中，即可求出a，b的值，即可得出结论；
②求出抛物线顶点关于（0，k+n2）和（0，k+（n+1）2）的对称点坐标，即可得出结论．

解：求解体验：（1）∵抛物线y=-x2+bx-3经过点（-1，0），
∴-1-b-3=0，
∴b=-4，
∴抛物线解析式为y=-x2-4x-3=-（x+2）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，1），
∴抛物线的顶点坐标（-2，1）关于（0，1）的对称点为（2，1），
即：新抛物线的顶点坐标为（2，1），
令原抛物线的x=0，
∴y=-3，
∴（0，-3）关于点（0，1）的对称点坐标为（0，5），
设新抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，
∵点（0，5）在新抛物线上，
∴5=a（0-2）2+1，
∴a=1，
∴新抛物线解析式为y=（x-2）2+1=x2-4x+5，
故答案为-4，（-2，1），y=x2-4x+5；

抽象感悟：（2）∵抛物线y=-x2-2x+5=-（x+1）2+6①，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，6），
设衍生抛物线为y′=a（x-1）2+2m-6，
∵抛物线y=-x2-2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，
∴a=1，
∴衍生抛物线为y′=（x-1）2+2m-6=x2-2x+2m-5②，
联立①②得，x2-2x+2m-5=-x2-2x+5，
整理得，2x2=10-2m，
∵这两条抛物线有交点，
∴10-2m≥0，
∴m≤5；
问题解决：
（3）①抛物线y=ax2+2ax-b=a（x+1）2-a-b，
∴此抛物线的顶点坐标为（-1，-a-b），
∵抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2-2bx+a2=b（x-1）2+a2-b，
∴a+b=0，③
∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，
∴b+2b+a2=-a-b④，
联立③④，∴a=0（舍）或a=3，
∴b=-3，
∴抛物线y的顶点坐标为（-1，0），抛物线y的衍生抛物线的顶点坐标为（1，12），
∴衍生中心的坐标为（0，6）；
②抛物线y=ax2+2ax-b的顶点坐标为（-1，-a-b），
∵点（-1，-a-b）关于点（0，k+n2）的对称点为（1，a+b+2k+2n2），
∴抛物线yn的顶点坐标An为（1，a+b+2k+2n2），
同理：An+1（1，a+b+2k+2（n+1）2）
∴AnAn+1=a+b+2k+2（n+1）2-（a+b+2k+2n2）=4n+2．