Question

【题目】如图1，已知菱形的边长为6，， 点、分别是边、上的动点(不与端点重合)，且.

（1）求证: 是等边三角形；

（2）点、在运动过程中，四边形的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；

（3）当点在什么位置时，的面积最大，并求出此时面积的最大值；

（4）如图2，连接分别与边、交于、，当时，求证:.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形AECF的面积不变.四边形AECF的面积为；（3）E是BC的中点时△ECF的面积最大，最大面积为；（4）见解析

【解析】

（1）利用证明△ACE和△ADF全等得AE=AF，结合∠EAF=60°，便得△EAF是等边三角形；

（2）根据△ACE≌△ADF，得四边形AECF的面积等于△ACD的面积等于菱形ABCD面积的一半；

（3）要使三角形ECF的面积最大，只要等边三角形AEF的面积最小即AE⊥BC时即可；

（4）将△ADN绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PM．证明MN=PM，∠BPM=90°即可解决问题.

（1）证明：在菱形ABCD中，

∵∠B=60°，

∴△ABC、△ACD是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠CAD=60°，

∴AC=AD，

∵∠EAF=60°，

∴∠CAE=∠DAF，

∵∠ACE=∠D=60°，

∴△ACE≌△ADF，

∴AE=AF，

∴△EAF是等边三角形；

（2）四边形AECF的面积不变.

过点A作AG⊥BC于点G.

在Rt△ABG中，∠B=60°，

∴BG=AB=3，

∴AG==，

∴S△ABC=S△ACD==.

由（1）知△ACE≌△ADF，

∴S△ACE=S△ADF，

∴S四边形AECF=S△ACE+S△ACF= S△ADF+S△ACF=S△ACD=；

（3）∵S四边形AECF=S△AEF+S△ECF =，

∴S△AEF最小时S△ECF最大，

∵△AEF是等边三角形，

∴当AE⊥BC时S△AEF最小，

此时E是BC的中点，AE=，等边△AEF的EF边上的高为=，

∴S△AEF==，

∴S△ECF= S四边形AECF - S△AEF ==；

（4）将△ADN绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PM．

∵∠DAE=15°，∠EAF=60°，∠BAD=120°，

∴∠BAE=45°，∠BAP=∠DAF=15°，

∴∠MAN=∠MAP=60°，

∵AM=AM，AN=AP，

∴△MAN≌△MAP（SAS），

∴MN=PM，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠ADN=∠ADC=30°，

∴∠AND=180°-15°-30°=135°，∠ANM=45°，

∴∠APB=∠AND=135°，∠APM=∠ANM=45°，

∴∠BPM=90°，

∴BP2+PM2=BM2，

∵BP=DN，PM=MN，

∴DN2+MN2=BM2．