Question

6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=5，CD=2．以A为圆心，AD为半径的圆与BC边相切于点M，与AB交于点E，将扇形A-DME剪下围成一个圆锥，则圆锥的高为（　　）

• A． 1
• B． 4
• C． $\sqrt{15}$
• D． $\sqrt{17}$

Answer 1

分析 如图，作CF⊥AB于F，连接AM．则四边形ADCF是矩形，再证明△AMB≌△CFB，推出BM=BF=3，在Rt△AMB中，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，设圆锥的高为h，底面半径为r，由题意2π•r=$\frac{1}{4}$•2π•4，推出r=1，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作CF⊥AB于F，连接AM．

∵AD∥CF，CD∥AF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴∠A=90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∴AD=CF=AM，CD=AF=2，
∵AB=5，∴BF=3，
在△AMB和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠CFB=90°}\\{∠B=∠B}\\{AM=CF}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△CFB，
∴BM=BF=3，
在Rt△AMB中，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
设圆锥的高为h，底面半径为r，
由题意2π•r=$\frac{1}{4}$•2π•4，
∴r=1，
∴h=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
故选C．

点评 本题考查切线的性质、全等三角形的判定和性质、圆锥的侧面展开图等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．