Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y₁=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y₂=

k

x

（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），tan∠BOC=

2

5

．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式，并写出使y₁＜y₂成立的x的取值范围；
（2）若M是直线AB上一点，使得△MBO∽△OBC，求点M的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）先过点B作BD⊥x轴，根据已知求出点B的坐标，再代入反比例函数y₂=

k

x

（k≠0）的中，求出反比例函数的解析式，从而求出点A的坐标，再把点A、点B的坐标代入y₁=ax+b，求出一次函数的解析式，再根据y₁与y₂交于（2，5）（-5，-2），求出x的取值范围；
（2）过点B作BD⊥x轴于点D，根据点B的坐标求出OB和BC的值，若△MBO∽△OBC，得出

MD

DC

=

BO

BC

，求出MD的值，设M的坐标为（t，t+3），求出t的值，即可得出答案．

解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，
∵tan∠BOC=

2

5

，
∴

2

-n

=

2

5

，
∴n=-5，
∴点B的坐标是（-5，-2），
∴反比例函数的解析式为：y₂=

10

x

；
∴点A的坐标是（2，5），
把（2，5）（-5，-2）代入y₁=ax+b得：

5=2a+b -2=-5a+b

，
解得：

a=1 b=3

，
∴一次函数的解析式为；y₁=x+3，
∵y₁与y₂交于（2，5）（-5，-2），
∴当y₁＜y₂时，x的取值范围是x＜-5或0＜x＜2；

（2）过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点B的坐标为（-5，-2），
∴OB=

22+52

=

29

，BC=

22+22

=2

2

，
若△MBO∽△OBC，
则

MD

DC

=

BO

BC

，
∴

MD

3

=

29

2 2

，
∴MD=

3 58

4

，
设M的坐标为（t，t+3），
∴t²+（t+3）²=（

3 58

4

）²，
解得：t₁=

9

4

，t₂=-

21

4

（舍去），
∴M的坐标为（

9

4

，

21

4

）．

点评：此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是函数解析式的求法、相似三角形的性质、勾股定理等，注意把不合题意的值舍去．