Question

19．（1）如图1，OP是∠MON的平分线，请利用该图形画一组以OP所在直线为对称轴且一条边在OP上的全等三角形，并用符号表示出来；
（2）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
①如图2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系；
②如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）本题是用尺规作图作出两个全等的三角形：在OM、ON上截取相同长度的线段，在OP上任取一点A，构造全等三角形即可；
（2）如图2，截取CE=CA，连接DE，根据角平分线的定义得到∠ACD=∠ECD，推出△CAD≌△CED，根据全等三角形的性质得到AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，根据三角形的内角和得到∠B=30°，即可得到结论；
（3）截取AE=AD，连接CE，作CH⊥AB，垂足为点H，同理△ADC≌△AEC，根据全等三角形的性质得到AE=AD=9，CD=CE=10=CB，由CH⊥AB，CE=CB，得到EH=HB设EH=HB=x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，作图过程：以O为圆心任意长为半径作弧，交射线ON，OM为C，B两点，在射线OP上任取一点A（O点除外），连接AB，AC，
可得△AOB≌△AOC，
∵OB=OC，OA是公共边，OP是角平分线∠AOB=∠AOC，
∴全等的依据是SAS；

（2）如图2，截取CE=CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD与△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CE}\\{∠ACD=∠ECD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△CED，
∴AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠B=∠EDB=30°，
∴DE=EB=AD，
∴BC=AC+AD；

（3）截取AE=AD，连接CE，作CH⊥AB，垂足为点H，
同理△ADC≌△AEC，
∴AE=AD=9，CD=CE=10=CB，
∵CH⊥AB，CE=CB，
∴EH=HB，
设EH=HB=x，
在Rt△ACH和Rt△CEH中
17²-（9+x）²=10²-x²，
解得：x=6，
∴AB=21．

点评 本题考查的是尺规作图，三角形全等的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．