Question

13．如图，∠BAC=60°，∠CDE=120°，AB=AC，DC=DE，连接BE，P为BE的中点．

（1）如图1，若A、C、D三点共线，求∠PAC的度数；
（2）如图2，若A、C、D三点不共线，求证：AP⊥DP；
（3）如图3，若点C线段BE上，AB=1，CD=2，请直接写出PD的长度．

Answer 1

分析 （1）延长AP，DE，相交于点F，利用平行线的判定定理可得AB∥DE，由全等三角形的判定可得△ABP≌△FEP，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得结果；
（2）延长AP到点F，使PF=AP，连接DF，EF，AD，首先由全等三角形的判定定理可得△BPA≌△EPF，由全等三角形的性质可得AC=FE，利用多边形的内角和定理可得∠ACD=∠FED，可证得△ACD≌△FED，可得AD=FD，可得结论；
（3）连接AP，AD，易知∠ACD=90°，所以AD=$\sqrt{5}$，在Rt△APD中，∠PAD=30°，所以，PD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

解答 （1）解：如图1，延长AP，DE，相交于点F，
∵∠BAC=60°，∠CDE=120°
∴∠BAC+∠CDE=180°，
∵A，C，D三点共线，
∴AB∥DE，
∴∠B=∠PEF，∠BAP=∠EFP，
在△ABP与△FEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠EFP}\\{∠B=∠PEF}\\{BP=PE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△FEP（AAS），
∴AB=FE，
∵AB=AC，DC=DE，
∴AD=DF
∴∠PAC=∠PFE，
∵∠CDE=120°，
∴∠PAC=30°；

（2）证明：如图2，延长AP到点F，使PF=AP，连接DF，EF，AD，
在△BPA与△EPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=AP}\\{∠EPF=∠BPA}\\{PE=PB}\end{array}\right.$，
∴△BPA≌△EPF（SAS），
∴AB=FE，∠PBA=∠PEF，
∵AC=BC，
∴AC=FE，
在四边形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，
∵∠BAC=60°，∠CDE=120°，
∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°．
∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠DEB+∠EBA，
∴∠ACD=∠FED，
在△ACD与△FED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=FE}\\{∠ACD=∠FED}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△FED（SAS），
∴AD=FD，
∵AP=FP，
∴AP⊥DP；     

（3）解：连接AP，AD，
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵DC=DE，∠CDE=120°，
∴∠DCE=30°，
∴∠ACD=90°，
∵AB=AC=1，CD=2，
∴AD=$\sqrt{5}$，
由（2）知，AP⊥PD，
∴A、C、P、D四点共圆，
∵∠PCD=30°，
∴∠PAD=30°，
∵在Rt△APD中，∠PAD=30°，
∴PD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理等，作出恰当的辅助线，证得三角形全等是解答此题的关键．