Question

1．已知关于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁²+x₂²=14，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可．

解答 解：（1）由题意得△=²-4k²=-8k+4≥0，
∴k≤$\frac{1}{2}$；

（2）由韦达定理得，x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=²-2k²=14，
解得k=-1或5（5＞$\frac{1}{2}$，舍去），
∴k=-1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．