Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上两点，连接AD，CD．

（1）如图1，点P是AC延长线上一点，∠APB＝∠ADC，求证：BP与⊙O相切；

（2）如图2，点G在CD上，OF⊥AC于点F，连接AG并延长交⊙O于点H，若CD为⊙O的直径，当∠CGB＝∠HGB，BG＝2OF＝6时，求⊙O半径的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）如图1，连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠ABC＝∠P，求得∠ABP＝90°，于是得到结论；

（2）如图2中，连接BC，BH，作BM⊥CD于M，AN⊥CD于N．想办法证明OM＝ON＝GN，MG＝DN，设OM＝ON＝a，构建方程求出a即可解决问题．

解：（1）如图1，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC+∠BAC＝90°，

∵∠ABC＝∠D，∠D＝∠P，

∴∠ABC＝∠P，

∴∠P+∠PAB＝90°，

∴∠ABP＝90°，

∴BP与⊙O相切；

（2）如图2，连接BC，BH，作BM⊥CD于M，AN⊥CD于N．

∵CD，AB是直径，

∴OA＝OD＝OC＝OB，∵∠AOD＝∠BOC，

∴△AOD≌△BOC（SAS），

∴AD＝BC＝2OF＝6，

∵OA＝OB，∠AON＝∠BOM，∠ANO＝∠BMO＝90°，

∴△AON≌△BOM（AAS），

∴OM＝ON，AN＝BM，设OM＝ON＝a，

∵∠CGB＝∠HGB，

∴∠OGH＝2∠CGB，

∵∠BOG＝∠OCB+∠OBC＝2∠GCB，∠GCB＝∠BGC，

∴∠BOG＝∠OGH，

∴∠AOG＝∠AGO，

∴AO＝AG，

∵AN⊥OG，

∴ON＝NG＝a，

∵BG＝AD，BM＝AN，∠AND＝∠BMG＝90°，

∴Rt△BMG≌Rt△AND（HL），

∴MG＝DN＝3a，OD＝OA＝OB＝OC＝4a，

∴BM＝＝a，

在Rt△CBM中，∵BC2＝BM2+CM2，

∴36＝15a2+9a2，

∵a＞0，

∴a＝，

∴MG＝CM＝3a＝，

∴DG＝2a＝，

∴CD＝2×+＝4，

∴⊙O半径的长为2．