【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D.
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°.
①求⊙O的半径;
②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)
【答案】
(1)解:直线BC与⊙O相切;
连结OD,∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D,
∴∠CAD=∠OAD,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,
∴∠ODB=∠C=90°,
即OD⊥BC.
又∵直线BC过半径OD的外端,
∴直线BC与⊙O相切
(2)解:设OA=OD=r,在Rt△BDO中,∠B=30°,
∴OB=2r,
在Rt△ACB中,∠B=30°,
∴AB=2AC=6,
∴3r=6,解得r=2.
在Rt△ACB中,∠B=30°,
∴∠BOD=60°.
∴ .
∵∠B=30°,OD⊥BC,
∴OB=2OD,
∴AB=3OD,
∵AB=2AC=6,
∴OD=2,BD=2
S△BOD= ×ODBD=2 ,
∴所求图形面积为 .
【解析】(1)连接OD,根据平行线判定推出OD∥AC,推出OD⊥BC,根据切线的判定推出即可;(2)①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r,AB=2AC=3r,从而求得半径r的值;②根据S阴影=S△BOD﹣S扇形DOE求得即可.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=﹣1,且过点(﹣3,0),下列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(2.5,y2)是抛物线上两点,则y1>y2 , 其中说法正确的是( )
A.①②③
B.②③
C.①②④
D.①②③④
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【题目】中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注,为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的,分为四种类型:A接听电话;B收发短信;C查阅资料;D游戏聊天.并将调查结果绘制成图1和图2的统计图(不完整),请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了 名学生;
(2)将图1、图2补充完整;
(3)现有4名学生,其中A类两名,B类两名,从中任选2名学生,求这两名学生为同一类型的概率(用列表法或树状图法).
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)请直接写出点A,C,D的坐标;
(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,求点E的坐标;
(3)如图(2),F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】小明在学习“锐角三角函数”中发现,用折纸的方法可求出tan22.5°,方法如下:将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点F处,这样就可以知道tan22.5°=
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【题目】为切实减轻中小学生课业负担、全面实施素质教育,某中学对本校学生课业负担情况进行调查.在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查,发现被抽查的学生中,每天完成课外作业时间,最长不足120分钟,没有低于40分钟的,且完成课外作业时间低于60分钟的学生数占被调查人数的10%.现将抽查结果绘制成了一个不完整的频数分布直方图,如图所示.
(1)这次被抽查的学生有人;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)被调查这些学生每天完成课外作业时间的中位数在组(填时间范围);
(4)若该校共有3600名学生,请估计该校大约有多少名学生每天完成课外作业时间在80分钟以上(包括80分钟).
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