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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O,使⊙O经过点A和点D.

(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°.
①求⊙O的半径;
②设⊙O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和π)

【答案】
(1)解:直线BC与⊙O相切;

连结OD,∵OA=OD,

∴∠OAD=∠ODA,

∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D,

∴∠CAD=∠OAD,

∴∠CAD=∠ODA,

∴OD∥AC,

∴∠ODB=∠C=90°,

即OD⊥BC.

又∵直线BC过半径OD的外端,

∴直线BC与⊙O相切


(2)解:设OA=OD=r,在Rt△BDO中,∠B=30°,

∴OB=2r,

在Rt△ACB中,∠B=30°,

∴AB=2AC=6,

∴3r=6,解得r=2.

在Rt△ACB中,∠B=30°,

∴∠BOD=60°.

∵∠B=30°,OD⊥BC,

∴OB=2OD,

∴AB=3OD,

∵AB=2AC=6,

∴OD=2,BD=2

SBOD= ×ODBD=2

∴所求图形面积为


【解析】(1)连接OD,根据平行线判定推出OD∥AC,推出OD⊥BC,根据切线的判定推出即可;(2)①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r,AB=2AC=3r,从而求得半径r的值;②根据S阴影=SBOD﹣S扇形DOE求得即可.

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