Question

【题目】如图所示，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线经过A、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点N是轴上的动点，过点N作轴的垂线，交抛物线与点M，交直线AC于点H．

①点D在线段OC上，连结AD、BD，当时，求的最小值；

②当时，将直线AD绕点A旋转，使直线AD与轴交于点P，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）①的最小值为4；②点P的坐标为或．

【解析】

（1）先根据直线的解析式求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可得；

（2）①先根据抛物线的解析式求出点B的坐标，从而可得AB的长，再根据等量代换、两点之间线段最短即可得出答案；

②如图（见解析），分两种情况讨论：先根据点A、B坐标、等腰直角三角形的判定与性质得出DE、AE、OA的长，再根据相似三角形的判定与性质可得出OP的长，从而可得点P的坐标．

（1）对于，令得，令得，解得

∴

把点代入得

解得

则抛物线的解析式为；

（2）①令

解得

∴

∵

∴

由两点之间线段最短可知，的最小值为AB

即的最小值为4；

②由题意，分以下两种情况：

如图1，当直线AD绕点A顺时针旋转时，

∵

∴

为等腰直角三角形

∴

作，则为等腰直角三角形

∵

∴

在中，

∴

在和中，

∴

，即

解得

如图2，当直线AD绕点A逆时针旋转时，

∵

∴

作

在和中，

∴

，即

解得

综上，点P的坐标为或．