Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为，将抛物线沿轴翻折得到抛物线，抛物线、的顶点分别为、，点为抛物线上一点，横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于点．

（1）当时；

①请直接写出抛物线的解析式；

②当时，求的值；

（2）当时．

①为抛物线上一动点，当为等腰直角三角形时，求的值；

②以为边向左作正方形，设横坐标为整数的点称为“梦想点”，当正方形的内部（不包括边上）有6个“梦想点”时，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①；②，2；（2）①，，；②＜m≤

【解析】

（1）①将抛物线对折，即将原来抛物线的x变为－x，代入可得；

②只需点A到直线PQ的距离的3倍与点B到直线PQ的距离相等即可；

（2）①存在3种情况，一种是PM=MQ，第二种是PM=PQ，第三种是PQ=QM，分别按照等腰直角三角形的性质可求得；

②正方形的边长为8m，根据“梦想点”的定义，可得边长取值范围为：2＜8m≤3．

（1）①∵抛物线的解析式为，将抛物线沿轴翻折得到抛物线

∴将中的x变为－x代入，求得的即为的解析式

即：

化简得；，将m=1代入得：

②∵m=1

∴：，：

∴A(1，1)，B(－1，1)，P的横坐标为n

∴AP的距离=，BP的距离=n－1

∵

∴n－1=3

解得：n=或n=2

（2）①情况一：PM=MQ，图形如下，过点M作PQ的垂线，交PQ于点N

由题意得：P(2，－4+4m)，Q(2，－4－4m)

∴PQ=

∵△MPQ是等腰直角三角形，MP=MQ

∴∠MPN=45°，∴△MPN是等腰直角三角形，MN=NP

设点M(x,)

∵MN是PQ的垂直平分线，∴点N、M的纵坐标为：，点N的横坐标为：2

∴－4=

∵MN=NP，∴2－x=，化简得：x=2－4m，代入上式并化简得：

8

解得：m=0(舍)，或m=

情况二：PM=PQ，图形如下

∵PM=PQ，∴2－x=8m，化简得：x=2－8m

∵△MPQ是等腰直角三角形，∠MPQ=90°

∴点M的纵坐标与点P的纵坐标相等，即

将x=2－8m代入上式并化简得：

解得：m=0(舍)，或m=

情况三：QM=PQ，图形如下

∵MQ=PQ，∴2－x=8m，化简得：x=2－8m

∵△MPQ是等腰直角三角形，∠MQP=90°

∴点M的纵坐标与点Q的纵坐标相等，即

将x=2－8m代入上式并化简得：

解得：m=0(舍)，或m=

②∵PQ=8m，四边形PQDE是正方形，∴正方形的边长为8m

根据梦想点定义，见下面2个图形

如图1：

当正方形的边长刚好比2大一点点的时候，正方形内包含的梦想点为6个

∴8m＞2，解得：m＞

如图2：

当正方形的边长为3时，刚好有4个梦想点，边长在增加一点，则会有9个梦想点

∴8m≤3，解得：m≤

∴＜m≤