Question

17．在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）求∠D的度数．
（2）若OE=1cm，求劣弧BD的长．

Answer 1

分析 （1）由垂径定理得出CE=DE，AF=DF，由线段垂直平分线的性质得出AC=AD，AC=CD，得出AC=AD=CD，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得出∠DCF=30°，由直角三角形的性质求出OC=2OE=2cm，由圆周角定理得出∠BOD=2∠BAD=60°，再由弧长公式即可得出结果．

解答 解：（1）连接AC，如图1所示：
∵直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，
∴CE=DE，AF=DF，
∴AC=AD，AC=CD，
∴AC=AD=CD，△ACD是等边三角形，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠D=∠CAD=60°；
（2）连接OD，如图2所示：
∵CF⊥AD，∠D=60°，
∴∠DCF=90°-60°=30°，
∴OC=2OE=2cm，
∵△ACD是等边三角形，AE⊥CD，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∴劣弧BD的长=$\frac{60π×2}{180}$=$\frac{2}{3}$π（cm）．

点评 本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及弧长公式；熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．