Question

7．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-1，0），B（2，0），交y轴于C（0，-2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据线段的和差，可得AP的长，根据勾股定理，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；
（3）分类讨论：①当H′在点C的下方时，根据平行线的判定，可得y_M，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；②当H′在点C的上方时，根据相似三角形的对应角相等，可得M′点是CP与抛物线的交点，根据解方程组，可得答案．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-2），将x=0，y=-2代入，得
a（0+1）（0-2）=-2，
解得a=1．
故抛物线的解析式为y=（x+1）（x-2），即y=x²-x-2．
（2）设OP=x，PC=PA=x+1．
在Rt△POC中，由勾股定理，得
x²+2²=（x+1）²，
解得x=$\frac{3}{2}$，即OP=$\frac{3}{2}$；
（3）∵△CHM∽△AOC，∠MCH=∠CAO，
如图：
，
①当H′在点C的下方时，∵∠CAO=∠MCH′，
∴MC∥AO，
∴y_M=y_C=-2，
x²-x-2=-2，解得x=0（舍去），x=1，
M（1，-2）；
②当H′在点C的上方时，∠M′CH′=∠CAO，
由（2）得M′为CP与抛物线的另一个交点，设CP的解析式为y=kx+b，将C，P点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
CP的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-2．
联立CP与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-x-2}\\{y=\frac{4}{3}x-2}\end{array}\right.$，
$\frac{4}{3}$x-2=x²-x-2，解得x=0（舍去）x=$\frac{7}{3}$，此时y=$\frac{10}{9}$，
M′（$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{9}$）；
综上所述：M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），点M的坐标（1，-2），（$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{9}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用勾股定理得出关于x的方程是解题关键；①利用平行线的判定得出y_M是解题关键，②利用相似三角形的对应角相等得出M′点是CP与抛物线的交点是解题关键．