【题目】在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切;
(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
【答案】
(1)解:∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴△AMN∽△ABC.
∴ ,即
;
∴AN= x;
∴S=S△MNP=S△AMN=
xx=
x2.(0<x<4)
(2)解:如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连接AO,OD,则AO=OD= MN.
在Rt△ABC中,BC= =5;
由(1)知△AMN∽△ABC,
∴ ,即
,
∴MN= x
∴OD= x,
过M点作MQ⊥BC于Q,则MQ=OD= x,
在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,
∴△BMQ∽△BCA,
∴ ,
∴BM= x,AB=BM+MA=
x+x=4
∴x= ,
∴当x= 时,⊙O与直线BC相切;
(3)解:随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连接AP,则O点为AP的中点.
∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APB,
∴△AMO∽△ABP,
∴ ,
∵AM=MB=2,
故以下分两种情况讨论:
①当0<x≤2时,y=S△PMN= x2,
∴当x=2时,y最大= ×4=
,
②当2<x<4时,设PM,PN分别交BC于E,F,
∵四边形AMPN是矩形,
∴PN∥AM,PN=AM=x,
又∵MN∥BC,
∴四边形MBFN是平行四边形;
∴FN=BM=4﹣x,
∴PF=x﹣(4﹣x)=2x﹣4,
又∵△PEF∽△ACB,
∴ ,
∴S△PEF= (x﹣2)2;
y=S△MNP﹣S△PEF= x2﹣
(x﹣2)2=﹣
x2+6x﹣6,
当2<x<4时,y=﹣ x2+6x﹣6=﹣
(x﹣
)2+2,
∴当x= 时,满足2<x<4,y最大=2.
综上所述,当x= 时,y值最大,最大值是2.
【解析】(1)由MN∥BC,得到△AMN∽△ABC,得到比例,求出S=S△MNP=S△AMN的代数式;(2)当直线BC与⊙O相切于点D时,根据勾股定理在Rt△ABC中,求出BC的值,由(1)知△AMN∽△ABC,得到比例,在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,得到∴△BMQ∽△BCA,得到比例,求出x的值;(3)由MN∥BC,得到△AMO∽△ABP,得到比例,由△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,讨论得到y关于x的函数表达式,求出y的最大值;此题是综合题,难度较大,计算和解方程时需认真仔细.
【考点精析】认真审题,首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方).
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0,
(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根.
(2)若x1 , x2是原方程的两根,且 +
=﹣2,求m的值.
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【题目】已知点在直线
上,
(1)直线解析式为 ;
(2)画出该一次函数的图象;
(3)将直线向上平移
个单位长度得到直线
,
与
轴的交点
的坐标为 ;
(4)直线与直线
相交于点
,
点坐标为 ;
(5)三角形ABC的面积为 ;
(6)由图象可知不等式的解集为 .
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【题目】如图,一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2= 的图象相交于A,B两点,点B的坐标为(2m,﹣m).
(1)求出m值并确定反比例函数的表达式;
(2)请直接写出当x<m时,y2的取值范围.
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【题目】反比例函数y1= (a>0,a为常数)和y2=
在第一象限内的图象如图所示,点M在y2=
的图象上,MC⊥x轴于点C,交y1=
的图象于点A;MD⊥y轴于点D,交y1=
的图象于点B,当点M在y2=
的图象上运动时,以下结论:
①S△ODB=S△OCA;
②四边形OAMB的面积为2﹣a;
③当a=1时,点A是MC的中点;
④若S四边形OAMB=S△ODB+S△OCA , 则四边形OCMD为正方形.
其中正确的是 . (把所有正确结论的序号都填在横线上)
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【题目】如图,正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,抛物线L经过O,P,A三点,点E是正方形内的抛物线上的动点.
(1)点P的坐标为;
(2)求抛物线L的解析式;
(3)求△OAE与△OCE面积之和的最大值.
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【题目】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请你补全这个输水管道的圆形截面;
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.
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