【题目】小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:
问题情境:如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,求证:S四边形ABCD=S△ABF.(S表示面积)
问题迁移:如图2:在已知锐角∠AOB内有一个定点P.过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,△MON的面积存在最小值,请问当直线MN在什么位置时,△MON的面积最小,并说明理由.
实际应用:如图3,若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情,防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线,建立一个面积最小的三角形隔离区△MON.若测得∠AOB=66°,∠POB=30°,OP=4km,试求△MON的面积.(结果精确到0.1km2)(参考数据:sin66°≈0.91,tan66°≈2.25,≈1.73)
拓展延伸:如图4,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B、C、P的坐标分别为(6,0)(6,3)(,
)、(4、2),过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交,将四边形OABC分成两个四边形,求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值.
【答案】问题情境:S四边形ABCD=S△ABF.
问题迁移:当点P是MN的中点时S△MON最小
实际运用:≈10.3km2
拓展延伸:10
【解析】
试题分析:问题情境:根据可以求得△ADE≌△FCE,就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论;
问题迁移:根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,过点M作MG∥OB交EF于G.由全等三角形的性质可以得出结论;
实际运用:如图3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分别为P1,M1,再根据条件由三角函数值就可以求出结论;
拓展延伸:分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N,延长OC、AB交于点D,由条件可以得出AD=6,就可以求出△OAD的面积,再根据问题迁移的结论就可以求出最大值;
当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N,延长CB交x轴于T,由B、C的坐标可得直线BC的解析式,就可以求出T的坐标,从而求出△OCT的面积,再由问题迁移的结论可以求出最大值,通过比较就可以求出结论.
试题解析:问题情境:∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE.
∵点E为DC边的中点,
∴DE=CE.
∵在△ADE和△FCE中,
,
∴△ADE≌△FCE(AAS),
∴S△ADE=S△FCE,
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE,
即S四边形ABCD=S△ABF;
问题迁移:出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,如图2,
过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F,设PF<PE,过点M作MG∥OB交EF于G,
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON.
∵S四边形MOFG<S△EOF,
∴S△MON<S△EOF,
∴当点P是MN的中点时S△MON最小;
实际运用:如图3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分别为P1,M1,
在Rt△OPP1中,
∵∠POB=30°,
∴PP1=OP=2,OP1=2
.
由问题迁移的结论知道,当PM=PN时,△MON的面积最小,
∴MM1=2PP1=4,M1P1=P1N.
在Rt△OMM1中,
tan∠AOB=,
2.25=,
∴OM1=,
∴M1P1=P1N=2﹣
,
∴ON=OP1+P1N=2+2
﹣
=4
﹣
.
∴S△MON=ONMM1=
(4
﹣
)×4=8
﹣
≈10.3km2.
拓展延伸:①如图4,当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N,延长OC、AB交于点D,
∵C(,
),
∴∠AOC=45°,
∴AO=AD.
∵A(6,0),
∴OA=6,
∴AD=6.
∴S△AOD=×6×6=18,
由问题迁移的结论可知,当PN=PM时,△MND的面积最小,
∴四边形ANMO的面积最大.
作PP1⊥OA,MM1⊥OA,垂足分别为P1,M1,
∴M1P1=P1A=2,
∴OM1=M1M=2,
∴MN∥OA,
∴S四边形OANM=S△OMM1+S四边形ANMM1=×2×2+2×4=10
②如图5,当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N,延长CB交x轴于T,
∵C(,
)、B(6,3),设直线BC的解析式为y=kx+b,由题意,得
,
解得:,
∴y=﹣x+9,
当y=0时,x=9,
∴T(9,0).
∴S△OCT=9=
.
由问题迁移的结论可知,当PM=PN时,△MNT的面积最小,
∴四边形CMNO的面积最大.
∴NP1=M1P1,MM1=2PP1=4,
∴4=﹣x+9,
∴x=5,
∴M(5,4),
∴OM1=5.
∵P(4,2),
∴OP1=4,
∴P1M1=NP1=1,
∴ON=3,
∴NT=6.
∴S△MNT=×4×6=12,
∴S四边形OCMN=﹣12=
<10.
∴综上所述:截得四边形面积的最大值为10.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在边长为1的小正方形组成的网格中,把一个点先沿水平方向平移丨a丨格(当a为正数时,表示向右平移;当a为负数时,表示向左平移),再沿竖直方向平移丨b|格(当b为正数时,表示向上平移;当b为负数时,表示向下平移),得到一个新的点,我们把这个过程记为(a,b)例如在图1中.从A到B记为:A→B(+1,+3)从c到D记为:C→D(+3,一3),请回答下列问题:
(1)如图1,若点A的运动路线为:A→B→D→A,请计算点A运动过的总路程;
(2)若点A运动的路线依次为:A→M(+2,+3)A→N(+1,―1),N→P
(-2,+2)P→Q(+4,—4)请你依次在图2上标出点M,N,P,Q的位置.
(3)在图2中,若点A经过(m,n)得到点E,点E再经过(p、,q)后得到Q,则m与p满足的数量关系是___________;n与q满足的数量关系是________________.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知E、F分别是ABCD的边BC、AD上的点,且BE=DF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若BC=10,∠BAC=90°,且四边形AECF是菱形,求BE的长.
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