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【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.

(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.

①求证:OCP∽△PDA

②若OCPPDA的面积比为1:4,求边AB的长;

(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求OAB的度数;

(3)如图2,,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作MEBP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.

【答案】(1)见解析;②边AB的长为10.(2)OAB的度数为30°.(3)长度为2

【解析】

试题分析:(1)只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似,然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系,然后在RtPCO中运用勾股定理求出OP长,从而求出AB长.

(2)由DP=DC=AB=AP及D=90°,利用三角函数即可求出DAP的度数,进而求出OAB的度数.

(3)由边相等常常联想到全等,但BN与PM所在的三角形并不全等,且这两条线段的位置很不协调,可通过作平行线构造全等,然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半,只需求出PB长就可以求出EF长.

解:(1)如图1,

四边形ABCD是矩形,AD=BC,DC=AB,DAB=B=C=D=90°

由折叠可得:AP=AB,PO=BO,PAO=BAOAPO=B

∴∠APO=90°

∴∠APD=90°CPO=POC

∵∠D=CAPD=POC

∴△OCP∽△PDA

∵△OCPPDA的面积比为1:4,

====

PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.

AD=8CP=4,BC=8.

设OP=x,则OB=x,CO=8﹣x.

在RtPCO中,

∵∠C=90°,CP=4,OP=x,CO=8﹣x,

x2=(8﹣x)2+42

解得:x=5.

AB=AP=2OP=10

边AB的长为10.

(2)如图1,

P是CD边的中点,

DP=DC.

DC=AB,AB=AP,

DP=AP.

∵∠D=90°

sinDAP==

∴∠DAP=30°

∵∠DAB=90°PAO=BAODAP=30°

∴∠OAB=30°

∴∠OAB的度数为30°.

(3)作MQAN,交PB于点Q,如图2.

AP=AB,MQAN

∴∠APB=ABPABP=MQP

∴∠APB=MQP

MP=MQ

MP=MQ,MEPQ

PE=EQ=PQ.

BN=PM,MP=MQ,

BN=QM

MQAN

∴∠QMF=BNF

MFQNFB中,

∴△MFQ≌△NFB

QF=BF

QF=QB.

EF=EQ+QF=PQ+QB=PB.

由(1)中的结论可得:

PC=4,BC=8,C=90°

PB==4

EF=PB=2

在(1)的条件下,当点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,长度为2

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