【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.
(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.
①求证:△OCP∽△PDA;
②若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长;
(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;
(3)如图2,,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.
【答案】(1)①见解析;②边AB的长为10.(2)∠OAB的度数为30°.(3)长度为2.
【解析】
试题分析:(1)只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似,然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系,然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长,从而求出AB长.
(2)由DP=DC=AB=AP及∠D=90°,利用三角函数即可求出∠DAP的度数,进而求出∠OAB的度数.
(3)由边相等常常联想到全等,但BN与PM所在的三角形并不全等,且这两条线段的位置很不协调,可通过作平行线构造全等,然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半,只需求出PB长就可以求出EF长.
解:(1)如图1,
①∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠可得:AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO,∠APO=∠B.
∴∠APO=90°.
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C,∠APD=∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4,
∴====.
∴PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.
∵AD=8,∴CP=4,BC=8.
设OP=x,则OB=x,CO=8﹣x.
在Rt△PCO中,
∵∠C=90°,CP=4,OP=x,CO=8﹣x,
∴x2=(8﹣x)2+42.
解得:x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴边AB的长为10.
(2)如图1,
∵P是CD边的中点,
∴DP=DC.
∵DC=AB,AB=AP,
∴DP=AP.
∵∠D=90°,
∴sin∠DAP==.
∴∠DAP=30°.
∵∠DAB=90°,∠PAO=∠BAO,∠DAP=30°,
∴∠OAB=30°.
∴∠OAB的度数为30°.
(3)作MQ∥AN,交PB于点Q,如图2.
∵AP=AB,MQ∥AN,
∴∠APB=∠ABP,∠ABP=∠MQP.
∴∠APB=∠MQP.
∴MP=MQ.
∵MP=MQ,ME⊥PQ,
∴PE=EQ=PQ.
∵BN=PM,MP=MQ,
∴BN=QM.
∵MQ∥AN,
∴∠QMF=∠BNF.
在△MFQ和△NFB中,
.
∴△MFQ≌△NFB.
∴QF=BF.
∴QF=QB.
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB.
由(1)中的结论可得:
PC=4,BC=8,∠C=90°.
∴PB==4.
∴EF=PB=2.
∴在(1)的条件下,当点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,长度为2.
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【题目】在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,﹣4),且过点B(3,0).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AB=DC,BC在x轴上,点A在y轴的正半轴上,点A,D的坐标分别为A(0,2),D(2,2),AB=2,连接AC.
(1)求出直线AC的函数解析式;
(2)求过点A,C,D的抛物线的函数解析式;
(3)在抛物线上有一点P(m,n)(n<0),过点P作PM垂直于x轴,垂足为M,连接PC,使以点C,P,M为顶点的三角形与Rt△AOC相似,求出点P的坐标.
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【题目】某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出300件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出200件,假定每月销售件数(件)与价格(元/件)之间满足一次函数关系.
(1)、试求与之间的函数关系式;
(2)、当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N.
(1)请你判断OM与ON的数量关系,并说明理由;
(2)过点D作DE∥AC交BC的延长线于E,当AB=5,AC=6时,求△BDE的周长.
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【题目】将抛物线y=2x2向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得抛物线的解析式为( )
A.y=2(x﹣3)2+2
B.y=2(x+3)2+2
C.y=2(x+3)2﹣2
D.y=2(x﹣3)2﹣2
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