Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）当x＝﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；（3）点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

【解析】

(1)已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式。

(2)过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论。

(3)分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可。

解：（1）由于抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），

将C点坐标（0，﹣3）代入，得：

a（0+3）（0﹣1）＝﹣3，解得 a＝1，

则y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，

所以抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N．

设直线AC的解析式为y＝kx+m，由题意，得

，解得，

∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3．

设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），

∴PN＝PE﹣NE＝﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）＝﹣x2﹣3x．

∵S△PAC＝S△PAN+S△PCN，

∴S＝PNOA

＝×3（﹣x2﹣3x）

＝﹣（x+）2+，

∴当x＝﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；

（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：

∵y＝x2+2x﹣3＝y＝（x+1）2﹣4，

∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），

∵A（﹣3，0），

∴AD2＝（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2＝20．

设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：

①当A为直角顶点时，如图3①，

由勾股定理，得AM2+AD2＝DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20＝（0+1）2+（t+4）2，

解得t＝，

所以点M的坐标为（0，）；

②当D为直角顶点时，如图3②，

由勾股定理，得DM2+AD2＝AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20＝（0+3）2+（t﹣0）2，

解得t＝﹣，

所以点M的坐标为（0，﹣）；

③当M为直角顶点时，如图3③，

由勾股定理，得AM2+DM2＝AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2＝20，

解得t＝﹣1或﹣3，

所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；

综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．