【题目】如图,在直角坐标系中,已知点 A(﹣3,0),B(0,4),对△OAB 连续作旋转变换,依次得到三角形(1),(2),(3),(4)…,则三角形(2019)的直角顶点的坐标为_____.
【答案】(8076,0)
【解析】
先利用勾股定理计算出AB,从而得到△ABC的周长为12,根据旋转变换可得△OAB的旋转变换为每3次一个循环,由于2019=3×673,于是可判断三角形2019与三角形1的状态一样,然后计算673×12即可得到三角形2019的直角顶点坐标.
解:∵A(-3,0),B(0,4),
∴OA=3,OB=4,
∴AB==5,
∴△ABC的周长=3+4+5=12,
∵△OAB每连续3次后与原来的状态一样,
∵2019=3×673,
∴三角形2019与三角形1的状态一样,
∴三角形2019的直角顶点的横坐标=673×12=8076,
∴三角形2019的直角顶点坐标为(8076,0).
故答案为(8076,0).
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【题目】已知,
.点
在
上以
的速度由点
向点
运动,同时点
在
上由点
向点
运动,它们运动的时间为
.
(1)如图①,,
,若点
的运动速度与点
的运动速度相等,当
时,
与
是否全等,请说明理由,并判断此时线段
和线段
的位置关系;
(2)如图②,将图①中的“,
”为改“
”,其他条件不变.设点
的运动速度为
,是否存在实数
,使得
与
全等?若存在,求出相应的
、
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】综合与探究
如图,等腰直角中,
,
,现将该三角形放置在平面直角坐标系中,点
坐标为
,点
坐标为
.
(1)过点作
轴,求
的长及点
的坐标;
(2)连接,若
为坐标平面内异于点
的点,且以
、
、
为顶点的三角形与
全等,请直接写出满足条件的点
的坐标;
(3)已知,试探究在
轴上是否存在点
,使
是以
为腰的等腰三角形?若存在,请直接写出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣
与x轴交于点B1,以OB1为边长作等边三角形A1OB1,过点A1作A1B2平行于x轴,交直线l于点B2,以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2,过点A2作A2B3平行于x轴,交直线l于点B3,以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3,…,则点A2017的横坐标是 .
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【题目】如图,测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿着仰角为30°的山坡前进1000米到达D处,在D处测得山顶B的仰角为60°,求山的高度?
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【题目】如图,已知⊙O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 E,连接 CO 并延长交 AD于点 F,且 CF⊥AD
(1)求证:点 E 是 OB 的中点;
(2)若 AB=12,求 CD 的长.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点F,C是⊙O上两点,且,连接AC,AF,过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D,垂足为D.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若CD=2,求⊙O的半径.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,sinC=,以点A为圆心,AB长为半径作弧交AC于M,分别以B、M为圆心,以大于
BM长为半径作弧,两弧相交于点N,射线AN与BC相交于D,则AD的长为_____.
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