Question

阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{-1，2，3}=

-1+2+3

3

=

4

3

；min{-1，2，3}=-1；min{-1，2a}=

a(a≤-1) -1(a＞-1)

解决下列问题：
（1）填空：min{

2

，

3	2

，（

2

）⁰}=

 

；
如果min{2，2x+2，4-2x}=2，则x的取值范围为

 

≤x≤

 

．
（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x；
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么

 

（填a，b，c的大小关系）”
③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，2x-y}
，则x+y=

 

．
（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=（x-1）²，y=2-x的图象（不需列表描点）．通过观察图象，
填空：min{x+1，（x-1）²，2-x}的最大值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）因为用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数，所以min{

2

，

3	2

，（

2

）⁰}就是括号内的三个数中最小的一个数，由

2

＞

3	2

＞（

2

）⁰，所以得出min{

2

，

3	2

，（

2

）⁰}=（

2

）⁰=1；由min{2，2x+2，4-2x}=2，得出2x+2≥2，且4-2x≥2，两个式子同时成立，据此即可求得x的范围；
（2）①M{2，x+1，2x}=

2+x+1+2x

3

=x+1，若M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，则x+1是2、x+1、2x中最小的一个，即：x+1≤2且x+1≤2x，据此即可求得x的值；
②根据①可以得到结论：当三个数的平均数等于三个数中的最小的数，则这几个数相等，据此即可写出；
③根据结论，三个数相等，即可求得x，y的值，从而求得x+y的值；
（3）根据二次函数图象与一次函数图象的作法作出图象，然后根据min的定义解答即可．

解答：解：（1）min{

2

，

3	2

，（

2

）⁰}=（

2

）⁰=1，
如果min{2，2x+2，4-2x}=2，则x的取值范围为0≤x≤1；

（2）①∵M{2，x+1，2x}=

2+x+1+2x

3

=x+1，
∴2x-（x+1）=x-1．
当x≥1时，则min{2，x+1，2x}=2，则x+1=2，x=1．
当x＜1时，则min{2，x+1，2x}=2x，则x+1=2x，x=1（舍去）．
综上所述：x=1．
②a=b=c．理由如下：
∵M{a，b，c}=

a+b+c

3

，
如果min{a，b，c}=c，则a≥c，b≥c．
则有

a+b+c

3

=c，即a+b-2c=0，
∴（a-c）+（b-c）=0．
又∵a-c≥0，b-c≥0，
∴a-c=0且b-c=0．
∴a=b=c．
其他情况同理可证，故a=b=c．
③由②的结论，若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，2x-y}，
则2x+y+2=x+2y=2x-y，解得x=-3，y=-1，
所以x+y=-3-1=-4；

（3）作出图象，由图可知min{x+1，（x-1）²，2-x}的最大值为1．
故答案为1，0，1；a=b=c；-4；1．

点评：本题是二次函数的综合题，考查了一次函数、二次函数的图象与性质，比较大小以及利用已知提供信息得出函数值的方法，此题综合性较强，读懂题目信息并理解新定义“M”与“min”的意义是解题的关键．