Question

【题目】已知矩形，，，为边上任意一点，连结，，以为直径作分别交，于点，，连结，．

（1）若点为的中点，证明：．

（2）若为等腰三角形时，求的长．

（3）作点关于直线的对称点．

①当点落在线段上时，设线段，交于点，求与的面积之比．

②在点的运动过程中，当点落在四边形内时(不包括边界)，则的范围是________(直接写出答案)．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4或5或6；（3）①6：5；②．

【解析】

（1）由为直径，可得，由点为的中点，可得，据此证明，可得．

（2）为等腰三角形，需要分类讨论：①，②，③，综合三种情况可得的长．

（3）①与的高相等，面积之比等于底之比；连接，证明∥，再利用相似三角形性质易求得与的面积之比．

②当点落在矩形对角线上时，通过证明，可得长，即可得的最小值，最大值很容易看出为10．

（1）∵为直径，∴，

∵点为的中点，∴，

在和中，

∴，

∴．

（2）如图1，为等腰三角形，分三种情况：

①时，

∵为直径，∴，

∴，

∵四边形是矩形，

∴，，，

∴,，∴，

在和中，

∴，

∴，

∴．

②时，如图，过点E作EM⊥AD于M，

∵，EM⊥AD，∴，，

∴，

∴，

∴，即点为的中点，

∴由（1）得，

∴．

③当时，如图，过点D作DN⊥AE于N，

∵，DN⊥AE，∴，，

∵，∴，

∴，∴，即，

∵，∴，

∵，

∴，

∴，即，∴，

∴，

综上所述，或5或6．

（3）①如图2，点与关于直线对称，连接，连接，

由轴对称性质得：，，，，

∴，

∴，

∴在和中，

∴

∴，，

∵，∴，

∵AE⊥BG，∴，

∵，∴，，

∴，∴，

∴，即与的面积之比为．

②如图3，

当点落在矩形对角线上时，

∵，

∴，

∴，

∴，∴ ，即，

∴，

则当点向右运动且不与点重合时，始终落在四边形内部，

∴，

故答案为：．