Question

13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°．设P=BC+CD，四边形ABCD的面积为S．
（1）试探究S与P之间的关系，并说明理由；
（2）若四边形ABCD的面积为9，求BC+CD的值．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由勾股定理得出AD²+AB²=DC²+BC²，再由AD=AB，得出2AD²=DC²+BC²，即可求出S=$\frac{1}{4}$P²；
（2）由$\frac{1}{4}$P²=9，得出P²=36，求出P，即为BC+CD的值．

解答 解：（1）S=$\frac{1}{4}$P²，理由如下：
连接BD，如图所示：
∵∠DAB=∠BCD=90°，
∴BD²=AD²+AB²=DC²+BC²；
∵AD=AB，
∴2AD²=DC²+BC²，
∴S=$\frac{AD•AB}{2}$+$\frac{DC•BC}{2}$=$\frac{A{D}^{2}}{2}$+$\frac{DC•BC}{2}$=$\frac{D{C}^{2}+B{C}^{2}}{4}$+$\frac{DC•BC}{2}$=$\frac{1}{4}$（DC+BC）²=$\frac{1}{4}$P²；
（2）根据题意得：$\frac{1}{4}$P²=9，
∴P²=36，
解得：P=6，或P=-6（舍去），
即BC+CD=6．

点评 本题考查了勾股定理的运用、四边形面积的计算方法、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．