Question

已知四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，BD、AC交于点E，AD=DC．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）已知BE•BD=48，
①若tan∠ADB=

4

3

，求⊙O直径；　
②若AD=4

6

，求BD的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）证明∠ABE=∠DBC，∠BAE=∠BDC，即可解决问题．
（2）①证明tan∠ACB=tan∠ADB=

AB

BC

=

4

3

；证明△ABE∽△DBC，列出比例式

AB

BD

=

BE

BC

，化简求值即可解决问题；
②证明△ADE∽△BDA，得到AD²=BD•DE；结合BE•BD=48，问题即可解决．

解答：解：（1）∵AD=DC，
∴

AD

=

DC

，
∴∠ABE=∠DBC，而∠BAE=∠BDC，
∴△ABE∽△DBC．
（2）①∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°；
∵∠ADB=∠ACB，
∴tan∠ACB=tan∠ADB=

AB

BC

=

4

3

，
设AB=4λ，则BC=3λ；
由勾股定理得AC=5λ；
∵△ABE∽△DBC，
∴

AB

BD

=

BE

BC

，
∴AB•BC=BD•BE=48，
即3λ•4λ=48，
∴λ=2，⊙O的直径=5λ=10．
②∵AD=DC，
∴∠DAE=∠ACD；
又∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABD=∠DAE；
又∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴

AD

BD

=

DE

AD

，
即AD²=BD•DE，而AD=4

6

，
∴DE•BD=96，而BE•BD=48，
∴（DE+BE）BD=144，即BD²=144，
∴BD=12．

点评：该题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．