Question

8．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．求证：BD⊥CE．

Answer 1

分析 要证BD=CE可转化为证明△BAD≌△CAE，由已知可证AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，因为∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即可证∠BAD=∠CAE，符合SAS，即得证．

解答 证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABC+∠MBC+∠ACB=90°，
∴∠MBC+∠ACM+∠ACB=90°，
∴∠BMC=90°，
∴BD⊥CE．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定及其性质知识点．