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【题目】已知,如图二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点C(0,4)与x轴交于点A、B,点B(4,0),抛物线的对称轴为x=1.直线AD交抛物线于点D(2,m).

(1)求二次函数的解析式并写出D点坐标;
(2)点E是BD的中点,点Q是线段AB上一动点,当△QBE和△ABD相似时,求点Q的坐标;
(3)抛物线与y轴交于点C,直线AD与y轴交于点F,点M为抛物线对称轴上的动点,点N在x轴上,当四边形CMNF周长取最小值时,求出满足条件的点M和点N的坐标.

【答案】
(1)

解:(1)由题可得:

解得:

则二次函数的解析式为y=﹣ x2+x+4.

∵点D(2,m)在抛物线上,

∴m=﹣ ×22+2+4=4,


(2)

解:过点D作DH⊥AB于点H,如图1,

∵点D(2,4),点B(4,0),

∴DH=4,OH=2,OB=4,

∴BH=2,∴DB= =2

∵点E为DB的中点,

∴BE= BD=

令y=0,得﹣ x2+x+4=0,

解得:x1=4,x2=﹣2,

∴点A为(﹣2,0),

∴AB=4﹣(﹣2)=6.

①若△QBE∽△ABD,

=

=

解得:BQ=3,

∴OQ=OB﹣BQ=4﹣3=1,

∴点Q的坐标为(1,0);

②若△QBE∽△DBA,

=

=

∴BQ=

∴OQ=OB﹣BQ=4﹣ =

∴点Q的坐标为( ,0).

综上所述:点Q的坐标为(1,0)或( ,0);


(3)

解:如图2,由A(﹣2,0),D(2,4),

可求得直线AD的解析式为:y=x+2,

即点F的坐标为:F(0,2),

过点F作关于x轴的对称点F′,即F′(0,﹣2),连接DF′交对称轴于M′,x轴于N′,

由条件可知,点C,D是关于对称轴x=1对称,

则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2

则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C,

即四边形CFNM的最短周长为:2+2

此时直线DF′的解析式为:y=3x﹣2,

所以存在点N的坐标为N( ,0),点M的坐标为M(1,1).


【解析】(1)首先运用待定系数法求出二次函数的解析式,然后把点D(2,m)代入二次函数的解析式,就可求出点D的坐标;(2)过点D作DH⊥AB于点H,如图1,根据勾股定理可求出BD,易求出点A的坐标,从而得到AB长,然后分两种情况:①△QBE∽△ABD,②△QBE∽△DBA讨论,运用相似三角形的性质求出BQ,从而得到OQ,即可得到点Q的坐标;(3)根据待定系数法得到直线AD的解析式为:y=x+2,过点F作关于x轴的对称点F′,即F′(0,﹣2),连接DF′交对称轴于M′,x轴于N′,由条件可知,点C,D是关于对称轴x=1对称,则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2 ,得到四边形CFNM的最短周长为:2+2 时直线DF′的解析式为:y=3x﹣2,从而得到满足条件的点M和点N的坐标.
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和相似三角形的性质的相关知识点,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能正确解答此题.

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A.1
B.2
C.3
D.4

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A.60
B.80
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D.40

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34 34 38 32 35 36 33 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38
34 33 40 36 36 37 31 38 38 37 35 40 39 37
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