【题目】已知,如图二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点C(0,4)与x轴交于点A、B,点B(4,0),抛物线的对称轴为x=1.直线AD交抛物线于点D(2,m).
(1)求二次函数的解析式并写出D点坐标;
(2)点E是BD的中点,点Q是线段AB上一动点,当△QBE和△ABD相似时,求点Q的坐标;
(3)抛物线与y轴交于点C,直线AD与y轴交于点F,点M为抛物线对称轴上的动点,点N在x轴上,当四边形CMNF周长取最小值时,求出满足条件的点M和点N的坐标.
【答案】
(1)
解:(1)由题可得: ,
解得: ,
则二次函数的解析式为y=﹣ x2+x+4.
∵点D(2,m)在抛物线上,
∴m=﹣ ×22+2+4=4,
(2)
解:过点D作DH⊥AB于点H,如图1,
∵点D(2,4),点B(4,0),
∴DH=4,OH=2,OB=4,
∴BH=2,∴DB= =2 .
∵点E为DB的中点,
∴BE= BD= .
令y=0,得﹣ x2+x+4=0,
解得:x1=4,x2=﹣2,
∴点A为(﹣2,0),
∴AB=4﹣(﹣2)=6.
①若△QBE∽△ABD,
则 = ,
∴ = ,
解得:BQ=3,
∴OQ=OB﹣BQ=4﹣3=1,
∴点Q的坐标为(1,0);
②若△QBE∽△DBA,
则 = ,
∴ = ,
∴BQ= ,
∴OQ=OB﹣BQ=4﹣ = ,
∴点Q的坐标为( ,0).
综上所述:点Q的坐标为(1,0)或( ,0);
(3)
解:如图2,由A(﹣2,0),D(2,4),
可求得直线AD的解析式为:y=x+2,
即点F的坐标为:F(0,2),
过点F作关于x轴的对称点F′,即F′(0,﹣2),连接DF′交对称轴于M′,x轴于N′,
由条件可知,点C,D是关于对称轴x=1对称,
则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2 ,
则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C,
即四边形CFNM的最短周长为:2+2 .
此时直线DF′的解析式为:y=3x﹣2,
所以存在点N的坐标为N( ,0),点M的坐标为M(1,1).
【解析】(1)首先运用待定系数法求出二次函数的解析式,然后把点D(2,m)代入二次函数的解析式,就可求出点D的坐标;(2)过点D作DH⊥AB于点H,如图1,根据勾股定理可求出BD,易求出点A的坐标,从而得到AB长,然后分两种情况:①△QBE∽△ABD,②△QBE∽△DBA讨论,运用相似三角形的性质求出BQ,从而得到OQ,即可得到点Q的坐标;(3)根据待定系数法得到直线AD的解析式为:y=x+2,过点F作关于x轴的对称点F′,即F′(0,﹣2),连接DF′交对称轴于M′,x轴于N′,由条件可知,点C,D是关于对称轴x=1对称,则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2 ,得到四边形CFNM的最短周长为:2+2 时直线DF′的解析式为:y=3x﹣2,从而得到满足条件的点M和点N的坐标.
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和相似三角形的性质的相关知识点,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能正确解答此题.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,∠BAC=∠DAF=90°,AB=AC,AD=AF,点D、E为BC边上的两点,且∠DAE=45°,连接EF、BF,则下列结论: ①△AED≌△AEF;②△ABE∽△ACD;③BE+DC>DE;④BE2+DC2=DE2 , 其中正确的有( )个.
A.1
B.2
C.3
D.4
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某公司欲招收职员一名,从学历、经验和工作态度等三个方面对甲乙丙进行了初步测试,测试成绩如下表.
(1)如果将学历、经验和工作态度三项得分按的比例确定各人的最终得分,并以此为据确定录用者,那么谁将被录用?
(2)自己确定学历、经验和工作态度三项的权,并根据自己的方案确定录用者.
应聘者 | 甲 | 乙 | 丙 |
项目 | |||
学历 | |||
经验 | |||
工作态度 |
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF,其中C.D的坐标分别为(1,0)和(2,0).若在无滑动的情况下,将这个六边形沿着x轴向右滚动,则在滚动过程中,这个六边形的顶点A.B.C.D.E、F中,会过点(45,2)的是点 ▲ .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(1)如图,已知点C在线段AB上,AC=6cm,且BC=4cm,M、N分别是AC、BC的中点,求线段MN的长度;
(2)在(1)题中,如果其他条件不变,你能猜出MN的长度吗?请你用一句简洁的话表达你发现的规律;
(3)对于(1)题,当点C在BA的延长线上时,且AB=其他条件不变,求MN的长度.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,O为坐标原点,四边形OACB是菱形,OB在x轴的正半轴上,sin∠AOB= ,反比例函数y= 在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F,则△AOF的面积等于( )
A.60
B.80
C.30
D.40
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】联想与探索:
如图1,将线段A1A2本向右平移1个单位长度至B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分),在图2中,将折线A1A2A3向右平移1个单位长度至B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分).
(1)在图3中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位长度,从而得到一个封闭图形,并用阴影表示;
(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积(设长方形水平方向长均为a,竖直方向长均为b) :S1= ,S2= ,S3= ;
(3)如图4,在一块长方形草地上,有一条弯曲的小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位长度,长方形水平方向长为a,竖直方向长为b),则空白部分表示的草地面积是多少?
(4)如图5,若在(3)中的草地上又有一条横向的曲小路(小路任何地方的宽度都是1个单位长度),则空白部分表示的草地面积是多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】菲尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项,每4年评选一次,颁给有卓越贡献的年轻数学家,被视为数学界的诺贝尔奖.下面的数据是从1936年至2014年45岁以下菲尔兹奖得住获奖时的年龄(岁): 39 35 33 39 27 33 35 31 31 37 32 38 36 31 39 32 38 37
34 34 38 32 35 36 33 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38
34 33 40 36 36 37 31 38 38 37 35 40 39 37
请根据以上数据,解答以下问题:
(1)小彬按“组距为5”列出了如下的频数分布表,每组数据含最小值不含最大值,请将表中空缺的部分补充完整,并补全频数分布直方图:
分组 | 频数 |
A:25~30 | |
B:30~35 | 15 |
C:35~40 | 31 |
D:40~45 | |
总 计 | 50 |
(2)在(1)的基础上,小彬又画出了如图所示的扇形统计图,图中B组所对的圆心角的度数为;
(3)根据(1)中的频数分布直方图试描述这50位菲尔兹奖得主获奖时的年龄的分布特征.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com